SoSe 2018 Lösung von Aufgabe 6.01

Aufgabe 6.01 In einer Übung definierte eine Kommilitonin den Begriff Halbgerade $AB^+$ wie folgt: $AB^+:=\overline{AB}\cup\left\{P|P\in AB \wedge |AP|> |BP|\right\}$ In der Vorlesung wurde wie folgt definiert: $AB^+:=\overline{AB} \cup \left\{P|\operatorname{Zw}(A,B,P)\right\}$ Beweisen Sie: Definition V $\Rightarrow$ Definition Ü Definition Ü $\Rightarrow$ Definition V Lösung 1 Behauptung: Def V <=> Def Ü zz. P Element von AB, d.h. P muss zwischen den Punkten A und B liegen Strecke AB ist größer als Strecke AP Kommentar --*m.g.* (Diskussion) 16:32, 10. Jun. 2018 (CEST) Hier ist Luft nach oben. Natürlich können wir beide Implikationen zusammenfassen zu einer Äquivalenz. Def Ü genau dann, wenn Def V. Dazu sind zwei Beweise zu führen. Beweis 1 Wenn $P$ ein Punkt des Strahls $AB^+$ nach Def Ü ist dann ist er auch ein Punkt des Strahls $AB^+$ nach Def V. Sei $P$ ein Punkt von $AB^+$ nach Def Ü. Voraussetzung In diesem Fall gilt: Entweder ist $P$ ein Punkt der Strecke $\overline{AB}$ oder es gilt $P \in AB$ und $\vert BP \vert < \vert AP \vert$. Anders ausgedrückt: Fall 1 $P \in \overline{AB}$ Fall 2 $P \in AB \land \vert|AP\vert > \vert BP\vert$ Behauptung $P$ ist auch ein Punkt von $AB^+$ nach Definition V, d.h. Fall a $P$ gehört zur Strecke $\overline{AB}$ Fall b $\operatorname{Zw}(A,B,P)$ Der Beweis Wenn Fall 1 eintritt folgt Fall a. Es bleibt zu zeigen: $P \in AB \land \vert AP\vert > \vert BP\vert \Rightarrow \operatorname{Zw}(A,B,P)$ Ferner dürfen wir für diesen Beweis voraussetzen, dass $P \not \in \overline{AB}$, denn Fall 1 wurde schon abgearbeitet. Von drei paarweise verschiedenen Punkten $A, B, P$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen (in der Vorlesung bewiesen). Prinzipiell könnte also gelten: $\begin{matrix} \text{I} & \operatorname{Zw}(APB) \\ \text{II} & \operatorname{Zw}(PAB) \\ \text{III} & \operatorname{Zw}(ABP) \\ \end{matrix}$ $\text{I}$ kann nicht eintreten, denn das wäre Fall 1 und der ist schon abgearbeitet. ... den Rest können Sie alleine.