Lösung von Aufgabe 13.2

Satz XII.4: (Innenwinkelsatz für Dreiecke)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha = \angle CBA$, $\beta = \angle CBA$ und $\gamma = \angle ACB$.
Es gilt $\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180$.

Versuch 1

VSS: Dreieck $\overline{ABC}$, mit Innenwinkel $\alpha = \angle CBA$, $\beta = \angle CBA$ und $\gamma = \angle ACB$
Beh: $\left| \alpha \right| + \left| \beta \right| + \left| \gamma \right| = 180$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\exist d: C \in d, D\|AB$	(Euklidisches Parallelenaxiom)
(II)	$\beta$ und $\beta^{'}$ sind Stufenwinkel	(I), (Def. Stufenwinkel)
(III)	$\alpha$ und $\alpha^{'}$ sind Stufenwinkel	(I), (Def. Stufenwinkel)
(IV)	$\gamma$ und $\gamma^{'}$ sind Scheitelwinkel	(I), (Def. Scheitelwinkel)
(V)	$\alpha \cong \alpha^{'}$, $\beta \cong \beta^{'}$	(I), (II), (III), (Stufenwinkelsatz)
(VI)	$\gamma \cong \gamma^{'}$	(I), (IV), (Scheitelwinkelsatz)
(VII)	$|\alpha^{'}| + |\beta^{'}| + |\gamma^{'}| = 180$	(Def. Nebenwinkel), (Supplementaxiom)
(VIII)	$|\alpha| + |\beta| + |\gamma| = 180$	(VII), (V), (VI)

-> Beh. wahr qed
--Löwenzahn 18:07, 16. Jul. 2010 (UTC)