Lösung von Aufgabe 5.6 P (WS 20 21)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\ \Theta$ ($\ \Theta$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $\ E \setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $\ A,B \in E \setminus g$ gilt: $\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\ \Theta$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\ \Theta$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\ \Theta$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

a) $\ A$ und $\ B$ sind Punkte der selben Halbebene.
--Werzdavid (Diskussion) 16:06, 2. Dez. 2020 (CET) b) reflexiv: Die Strecke von $\ A$ nach $\ A$ ist gleich dem Punkt $\ A$, welcher nicht Element von $\ g$ sein kann.

symmetrisch: Da $\overline{AB}\cap g \Leftrightarrow \overline{BA}\cap g$ ist die Relation symmetrisch.

transitiv: Wenn $\ A$ und $\ B$ in der selben Halbebene liegen und $\ B$ und $\ C$ auch, dann liegen auch $\ A$ und $\ C$ in der selben Halbebene.--Werzdavid (Diskussion) 16:06, 2. Dez. 2020 (CET)