Aufgaben zur Vorbereitung auf die Klausur

Aufgabe 14.1

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck. $\ l_c$ sei die Lotgerade des Lotes von $\ C$ auf $\ AB$. $\ l_a$ sei die Lotgerade des Lotes von $\ A$ auf $\ BC$ und $\ l_b$ sei die Lotgerade des Lotes von $\ B$ auf $\ AC$. Man beweise: $\ l_c, l_a$ und $\ l_b$ haben genau einen Punkt gemeinsam.

Lösung von Aufgabe 14.1

Aufgabe 14.2

Es sei $\ P$ ein Punkt aus dem Inneren des Winkels $\ \alpha$. Man beweise: $\ P$ ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden $\ w$ von $\ \alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\ \alpha$ jeweils ein und denselben Abstand hat.

Lösung von Aufgabe 14.2

Aufgabe 14.3

Das Euklidische Parallelenaxiom findet man in einigen Lehrbüchern in der folgenden Formulierung: Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es genau eine Gerade $\ h$ mit $\ P \in \ g \land h \| g$. Warum genügt diese Formulierung des Euklidischen Parallelenaxioms nicht den Anforderungen, die an Axiome zu stellen sind?

Lösung von Aufgabe 14.3

Aufgabe 14.4

Der Begriff des Drachen sei wie folgt definiert: Unter einem Drachen versteht man ein konvexes Viereck mit zwei Paaren benachbarter Seiten, die kongruent zueinander sind.

Man beweise: Wenn ein Viereck $\overline{ABCD}$ ein Drachen ist, dann halbiert eine Diagonale dieses Vierecks die andere Diagonale von $\overline{ABCD}$.

Lösung von Aufgabe 14.4