Lösung von Aufg. 7.4
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.
Vor: Ebene ,nkomp(A,B,C,D)
Beh: enthält weinigstens drei paarweise verschiedene Punkte
Fall 1:
3 der vier Punkte liegen in der Ebene trivial
Fall 2:
2 der vier Punkte liegen in der Ebene
,
1) ,
,
und
2)
________Lemma 3 und Axiom I/4
3)__________________wegen nkomp(A,B,C,D)
4)
___________3)
5)________________wegen nkomp(A,B,C,D)
6) und
____________2) und 4)
7) ,
,
________6) und Axiom I/6
bleibt zu zeigen :
:
,
,
:
,
,
daraus folgt
komp(A,B,C,D)
8) Widerspruch zur Vorraussetzung nkomp(A,B,C,D)
3.Fall:
1)
2)__________________Axiom I/4 und Lemma 3
3) ________________Axiom I/4 und Lemma 3
4)_____________da sonst
Widerspruch zur nkomp(A,B,C,D)
5),
__________2) und 3)
6),
,
___________Axiom I/4
7),
,
___________Axiom I/4
zu zeigen:
Annahme: P1 =P2
8) A, D und
9) A, D und
10)=
11) Widerspruch zu 4)
A,P1,P2 sind drei paarweise verschiedene Punkte in
Fall 4:
Keine der vier Punkte ist Element von
enthält einen Punkt________nach Axiom I/4
Fall 3