Lösung von Aufg. 12.1

Beweisen Sie:
Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz

In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Voraussetzung: Dreieck ABC, $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.
Behauptung: mindestens zwei Innenwinkel sind spitz
Annahme: zwei Innenwinkel sind nicht spitz o.B.d.A $\alpha$ und $\beta$.

Beweisschritt (Begründung)
1. $\alpha$ >90 und $\beta$ >90 (Annahme)
2. $\delta$ ist Außenwinkel (Definition Außenwinkel)
3. $\delta$ + $\beta$ =180 (Supplementaxiom)
4. $\delta$ <90 (1,3 rechnen in R)
5. $\delta$ < $\alpha$. (1,4)

Widerspruch zum schwachen Außenwinkelsatz, Annahme ist zu verwerfen Behauptung stimmt
--Sommer80 16:05, 19. Jan. 2011 (UTC)

Schritt 1. sollte man durch "größergleich" 90 ergänzen, sonst ist der Beweis nicht korrekt, denn die Winkel könnten ja genau
90 sein und wären dann auch nicht spitz.--Tutorin Anne 09:07, 27. Jan. 2011 (UTC)

weiterer Lösungsvorschlag:
Vor: Dreieck ABC, $\gamma$>90
Beh:$\alpha$ <90,$\beta$ <90

1) $\gamma$ >90_____________________Vor.
2) $\gamma1$<90_________________ $\gamma1$ ist Nebenwinkel von $\gamma$
3) $\gamma1$ ist Außenwinkel des Dreiecks ABC___________________schwacher Außenwinkelsatz und 2)
$\gamma1$ >90 $\alpha$
$\gamma1$ >90 $\beta$
4)$\alpha$<$\gamma1$<90_________________________2) und 3)
$\beta$<$\gamma1$<90
5)$\alpha$ und $\gamma$ sind spitze Winkel________________4)--Engel82 11:05, 22. Jan. 2011 (UTC)

Der Beweis lässt sich so ähnlich auch direkt durchführen, allerdings stimmen die Begründungen nicht immer.
bei 2) Begründung zu Ergänzen mit Supplementaxiom
bei 3) steht die Begründung im Beweisschritt; besser ist es, den Schritt wegzulassen und Schritt 4) dann mit dem
schwachen Außenwinkelsatz und 2) zu begründen.
Auch hier muss größergleich (hier =<) verwendet werden, damit der Fall $\gamma$ =90 nicht ausgeschlossen ist. z.B.:
1) $\gamma$ >=90_____________________Vor.

2) $\gamma1$=<90_________________ $\gamma1$ ist Nebenwinkel von $\gamma$; Supplementaxiom

3)$\alpha$<$\gamma1$=<90

$\beta$<$\gamma1$=<90_________________________2) und $\gamma1$ ist Außenwinkel des  Dreiecks ABC
; schwacher Außenwinkelsatz
5)$\alpha$ und $\gamma$ sind spitze Winkel________________3)Def. spitze Winkel--Tutorin Anne 09:07, 27. Jan. 2011 (UTC)