Probeklausur (SoSe 11)

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Probeklausur_SS_11

Die Klausuraufgaben zum Diskutieren

Aufgabe 1

a

Definieren Sie den Begriff offene Strecke $\overline{AB}$

$\overline{AB}:=\{P|zw(A,P,B)\}$

b

Definieren Sie, was man unter dem Kreis $k$ mit dem Radius $r$ und dem Mittelpunkt $M$ versteht.

$k:=\{P| |PM|=r \}$

Der Kreis $k$ ist die Menge aller Punkte die zu $M$ den Abstand $r$ haben und mit $M$ in derselebn Ebene liegen. M heißt Mittelpunkt von k und r der Radius von k.

c

Definieren Sie den Begriff Inneres eines Kreises.

d

Was ist an der folgenden Definition nicht korrekt?
Definition (gleichschenkliges Dreieck):

Wenn ein Dreieck zueinander kongruente Basiswinkel hat, so ist es gleichschenklig.

e

Unter dem Raum $\mathbb{P}$versteht man die Menge aller Punkte. Die Punktmenge $\varepsilon \subset \mathbb{P}$ sei eine Ebene. Gegeben sei ferner $\ Q$ mit $Q \in \mathbb{P} \land Q \not \in \varepsilon$. Definieren Sie die Begriffe Halbraum $\varepsilon Q^+$ und $\varepsilon Q^-$.

f

Definieren Sie den Begriff regelmäßiges Sechseck. Der Begriff n-Eck sei bereits definiert.

Aufgabe 2

a

Es sei $gQ^+ \subset \varepsilon$ eine offene Halbebene der Ebene $\varepsilon$. Es gelte$P \in gQ^+$ . Man beweise:$A \in gQ^+ \Rightarrow A \in gP^+$. (Skizzen helfen)

b

Formulieren Sie die Kontraposition der Implikation aus Teilaufgabe a).

c

Warum bedarf die Implikation aus Teilaufgabe b) keines Beweises mehr?

d

Wir wissen bereits, dass Halbebenen konvexe Punktmengen sind. Begründen Sie, dass das Innere eines Winkels immer eine konvexe Punktmenge ist. Sie dürfen in Ihrer Begründung auf Sätze aus der Vorlesung verweisen, ohne diese noch einmal beweisen zu müssen. (Tabu ist diesbezüglich natürlich der Satz Das Innere eines Winkels ist konvex.)

e

Beweisen Sie: Jede Strecke $\overline{AB}$ hat höchstens einen Mittelpunkt.