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Wir gehen von folgender Definition aus:
Eine Winkelhalbierende eines Winkels $\angle (p,q)$ ist ein Strahl l, der im Inneren des Winkels $\angle (p,q)$ liegt, den Scheitel des Winkels $\angle (p,q)$ als Anfangspunkt besitzt und diesen Winkel in zwei gleich große Winkel $\angle (p,l)$ und $\angle (l,q)$ unterteilt.
Außerdem sei folgende genetische Definition gegeben:

• Gegeben sei ein Winkel $\angle (p,q)$.
• Man konstruiere auf den beiden Schenkeln des Winkels $\angle (p,q)$ zwei Punkte P und Q, die vom Scheitel S des Winkels $\angle (p,q)$ gleich weit entfernt sind.
• Man konstruiere die Strecke $\overline{PQ}$.
• Man konstruiere den Mittelpunkt M der Strecke $\overline{PQ}$.
• Man konstruiere den Strahl w mit dem Anfangspunkt S, der durch den Punkt M verläuft.
• Dieser Strahl w ist die Winkelhalbierende.
  
  

Beweisen Sie, dass durch diese Konstruktionsvorschrift tatsächlich die Winkelhalbierende entsprechend der angegebenen Definition entsteht.