Übung Aufgaben 3 (SoSe 12)

Aufgaben zur Inzidenz

Die Inzidenzaxiome können für die Geometrie im Raum erweitert werden. Lesen Sie sich hier die Inzidenz im Raum SoSe_12) durch, Sie benötigen die Axiome und Definitionen für die folgenden Aufgaben.

Aufgabe 3.1

Formulieren Sie die Inzidenzaxiome der Ebene formal.
Lösung von Aufgabe 3.1 (SoSe_12)

Aufgabe 3.X

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösung von Aufg. 3.X (SoSe_12)

Aufgabe 3.Y

Satz:

Wenn vier Punkte nicht komplanar sind, sind je drei von ihnen nicht kollinear.

1. Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne die Bezeichnungen komplanar und kollinear zu verwenden.
2. Formulieren Sie den Satz noch einmal, ohne wenn-dann zu gebrauchen.
3. Beweisen Sie den Satz. Hier ein Anfang für den Beweis:

Beweis

Es seien $\ A, B, C$ und $\ D$ vier Punkte, die nicht komplanar sind.

zu zeigen

...

Annahme:

Es gibt drei Punkte von den vier Punkten $\ A, B, C, D$, die kollinear sind. Es mögen dieses o.B.d.A. die Punkte ...

Lösung von Aufg. 3.Y (SoSe_12)

Aufgabe 3.Q

Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Lösung von Aufg. 3.Q (SoSe_12)

Aufgabe 3.W

Es sei $\ g$ eine Gerade und $\ P$ ein Punkt, der nicht zu $\ g$ gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene $\ \epsilon$, die sowohl alle Punkte von $\ g$ als auch den Punkt $\ P$ enthält.

Lösung von Aufg. 3.W (SoSe_12)

Aufgabe 3.E

Beweisen Sie: Je vier nicht komplanare Punkte sind paarweise verschieden (Hinweis: Nutzen Sie bei der Beweisführung den Satz aus Aufgabe 6.6).

Lösung von Aufg. 3.E (SoSe_12)

Aufgabe 3.R

Das Axiom I.7 sagt aus:

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Es sei $\ \epsilon$ eine beliebige Ebene und $\ A, B, C, D$ die vier Punkte entsprechend Axiom I.7. Klassifizieren Sie alle Fälle die bezüglich der Inzidenz der Punkte $\ A, B, C, D$ mit $\ \epsilon$ auftreten können.

Lösung von Aufg. 3.R (SoSe_12)

Aufgabe 3.T

Beweisen Sie Satz I.5 : Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Lösung von Aufg. 3.T (SoSe_12)

Aufgabe 3.Z

Beweisen Sie Satz I.7 : Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Lösung von Aufg. 3.Z (SoSe_12)

Aufgabe 3.3

Hier finden Sie Aufgabe 3.3.

Lösung von Aufgabe 3.3 (SoSe_12)

Aufgabe 3.4

Es sei P die Menge der Punkte und G die Menge der Gerade. Wir betrachten folgendes Modell:
P = {A,B,C,D}
G = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}, {C,D}}

a) Veranschaulichen Sie das Modell durch eine Skizze.
b) Sind bei dem Modell die Axiome I.0 bis I.3 erfüllt?

Lösung von Aufgabe 3.4 (SoSe_12)