Übung Aufgaben 2 S (SoSe 12)

Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 1 Aufgabe 2.1 Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. a) Wie lautet die Umkehrung des Basiswinkelsatzes? b) Fassen Sie den Basiswinkelsatz und seine Umkehrung zu einem Satz zusammen (Kriterium). Lösung von Aufgabe 2.1_S (SoSe_12) Aufgabe 2.2 a) Wie lautet der Stufenwinkelsatz? (schauen Sie bei Bedarf in Schulbüchern nach). b) Es seien a und b zwei nichtidentische Geraden, die durch eine dritte Gerade c jeweils in genau einem Punkt S geschnitten werden. Bei diesem Schnitt entstehen die Stufenwinkel $\alpha$ und $\beta$. Welche der folgenden Aussagen repräsentiert den Stufenwinkelsatz bzw. ist eine zu diesem Satz äuivalente Aussage (Begründen Sie jeweils)? $\ a \ \|| \ b \Rightarrow \alpha \tilde {=} \beta$ $\alpha \tilde {=} \beta \Rightarrow \ a \ \|| \ b$ $\|\alpha \|\not= \| \beta \| \Rightarrow \exists S: S \in a \wedge S \in b$ $\ a \ \|| \ b \Leftrightarrow \alpha \tilde {=} \beta$ Lösung von Aufgabe 2.2_S (SoSe_12) Aufgabe 2.3 Es seien A und B zwei Punktmengen. Was müssen Sie konkret zeigen, wenn Sie beweisen wollen, dass A = B ? Lösung von Aufgabe 2.3_S (SoSe_12) Aufgabe 2.4 Der Basiswinkelsatz lautet: Im gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel kongruent zueinander. a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..." b)Ergänzen Sie: Voraussetzung: $\overline{ABC}$ ist ein Dreieck mit… Behauptung: Lösung von Aufgabe 2.4_S (SoSe_12) a) Wenn in einem Dreieck ABC zwei Winkel kongruent sind, dann ist dieses Dreieck ein gleichschenkliges Dreieck. b) Aufgabe 2.5 Eine Raute sei folgendermaßen definiert: Ein Viereck mit vier kongruenten Seiten heißt Raute. Sie wollen folgenden Satz beweisen: In einer Raute sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander. a) Formulieren Sie den Satz mit "Wenn... dann..." b)Ergänzen Sie: Voraussetzung: Behauptung: Lösung von Aufgabe 2.5_S (SoSe_12) Aufgabe 2.6 Bringen Sie die folgenden Implikationen in die Form Wenn-Dann: Jedes Quadrat hat vier rechte Innenwinkel. Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der Hypotenuse dieses Dreiecks. In einem konvexen Viereck schneiden sich die Diagonalen des Vierecks. Die Geraden, die durch die Diagonalen einer Raute $\overline{ABCD}$eindeutig bestimmt sind, sind Symmetrieachsen von $\overline{ABCD}$. Es sei $\overline{PQRS}$ ein Paralellogramm. Es gilt: $\angle SPQ \tilde= \angle QRS$. Die Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt 180°. Lösung von Aufgabe 2.6_S (SoSe_12) Aufgabe 2.7 Bilden Sie die Umkehrungen der Implikationen aus Aufgabe 2.6. Formulieren Sie in den Fällen in denen es sinnvoll ist, Implikation und Umkehrung als Äquivalenz. Lösung von Aufgabe 2.7_S (SoSe_12)