Lösung von Aufgabe 2.7 S (SoSe 12)

Aufgabe 2.7

Bilden Sie die Umkehrungen der Implikationen aus Aufgabe 2.6. Formulieren Sie in den Fällen in denen es sinnvoll ist, Implikation und Umkehrung als Äquivalenz.

1. Wenn $\overline {ABCD}$ vier rechte Innenwinkel hat, dann ist es ein Quadrat.
2. Wenn ein Punkt auf der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks $\overline {ABC}$ liegt, dann ist es der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.
3. Wenn sich die Diagonalen eines Vierecks schneiden, dann ist es konvex.
4. Wenn die Symmetrieachsen von $\overline {ABCD}$ durch Geraden eindeutig bestimmt sind, dann liegen die Geraden auf den Diagonalen einer Raute.
5. Wenn die Winkel $\angle {SPQ}$ und $\angle {QRS}$ konruent zueinander sind, dann ist $\overline {PQRS}$ ein Parallelogramm.
6. Wenn die Innenwinkelsumme von $\overline {ABC}$ 180° beträgt, dann ist es ein Dreieck.

Zu 2

Implikation: Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der Hypotenuse dieses Dreiecks.

Umkehrung: Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist der Durchmesser vom Umkreis dieses Dreiecks.--Oz44oz 00:44, 1. Mai 2012 (CEST)

Zu 4

Implikation: Wenn ein Viereck eine Raute ist, dann sind beide Diagonalen Symmetrieachsen.

Umkehrung: Wenn beide Diagonalen eines Vierecks Symmetrieachsen sind, dann ist das Viereck eine Raute. (nicht wahr)--Oz44oz 22:50, 1. Mai 2012 (CEST)

Zu 5

Implikation : Wenn ein Viereck ein Paralellogramm ist, dann sind die gegenüberliegenden Winkel gleich groß.

Umkehrung: Wenn in einem Viereck die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind, dann ist das Viereck ein Paralellogramm . (nicht wahr; siehe Viereck, Quadrat)--Oz44oz 22:50, 1. Mai 2012 (CEST)

Zu 6

Implikation: Wenn das Vieleck ein Dreieck ist, dann beträgt die Innenwinkelsumme 180.

Umkehrung: Wenn in einem Vieleck die Innenwinkelsumme 180 beträgt, dann ist es ein Dreieck. ( wahr )

Äquivalenz: Ein Vieleck ist genau dann ein Dreieck, wenn die Innenwinkelsumme 180 beträgt.--Oz44oz 22:54, 1. Mai 2012 (CEST)

Passende Äquivalenz bei:
3. Die Diagonalen eines Vierecks schneiden sich genau dann, wenn es konvex ist.
6. $\overline {ABC}$ ist genau dann ein Dreieck, wenn seine Innenwinkelsumme 180° beträgt.

2. Wenn der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks auf dessen Hypothenuse liegt, dann ist es ein rechtwinkliges Dreieck.--Goliath 13:49, 29. Apr. 2012 (CEST)

4. Wenn die Geraden Symmetrieachsen der Raute $\overline {ABCD}$ sind, dann werden sie durch die Diagonalen der Raute eindeutig bestimmt.--Goliath 13:49, 29. Apr. 2012 (CEST)

Kommentar M.G.

Die Schreibweise $\overline {ABC}$ steht für ein Dreieck. Ich formuliere mal "Wenn die Innenwinkelsumme von $\overline {ABC}$ 180° beträgt, dann ist es ein Dreieck." nur mit anderen Worten: Wenn die Innenwinkelsumme des Dreiecks $\overline{ABC}$ 180° beträgt, dann ist $\overline{ABC}$ ein Dreieck. Wieder so ein Fall von "Wenn du kein iPhone hast ... ."--*m.g.* 17:55, 29. Apr. 2012 (CEST) Ein passender Oberbegriff von Dreieck kann hilfreich sein.--*m.g.* 17:57, 29. Apr. 2012 (CEST)

Wenn ABC n=3, dann beträgt die Innenwinkelsumme 180 Grad. KeinKurpfälzer und --H2O 17:22, 30. Apr. 2012 (CEST)