Beweisen SoSe 12 S

Implikationen

Aus der Schule kennen Sie bereits den so genannten Wechselwinkelsatz.
Wechselwinkelsatz:
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander.

Betrachten wir diesen Satz etwas genauer: Es wird hier behauptet, dass Wechselwinkel kongruent zueinander sind (Behauptung), unter der Bedingung, dass die Wechselwinkel an geschnittenen parallelen Geraden betrachtet werden (Voraussetzung). Wir können den Satz also in eine Voraussetzung (A) und eine Behauptung (B) aufteilen.
In der Mathematik gehen wir davon aus, dass Sätze wahr sind, d. h. wenn die Voraussetzung erfüllt ist, muss auch die Behauptung notwendigerweise wahr sein.
Aussagenlogisch haben wir es somit mit einer Implikation zu tun:
formal: $\ A \Rightarrow B$

Es seien a und b zwei verschiedene Geraden, die durch eine dritte Gerade c geschnitten werden.
Wenn zwei geschnittene Geraden paralell zueinander sind, so sind die entstehenden Wechselwinkel kongruent.--Braindead 14:33, 21. Apr. 2012 (CEST)

Wir können aus jedem Satz auch eine Umkehrung bilden (die nicht unbedingt wahr sein muss), d. h. wir formulieren die Behauptung als Voraussetzung und die Vorausetzung als Behauptung:
formal:$\ B \Rightarrow A$

Aufgabe: Formulieren Sie hier die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes:

Wenn die bei dem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent sind, dann sind die Geraden a und b parallel zu einander.--Braindead 13:42, 21. Apr. 2012 (CEST)

Ist ein Satz und seine Umkehrung wahr, dann sind Voraussetzung und Behauptung äquivalent, formal kann man dann schreiben: $\ A \Leftrightarrow B$

Aufgabe: Formulieren Sie den Wechselwinkelsatz und seine Umkehrung in einem Satz als Äquivalenz:

Umkehrung als Äquivalenz:

Genau dann, wenn die bei dem Schnitt entstehenden Wechselwinkel kongruent zueinander sind, dann sind die Geraden a und b parallel zu einander.--Braindead 14:23, 21. Apr. 2012 (CEST)

Notwenig, hinreichend, notwendig und hinreichend

Aufgaben zum Einstieg

1. Welche Aussagen sind wahr?

	Die Eigenschaft eines Vierecks einen rechten Innenwinkel zu haben ist notwenig dafür, dass das Viereck ein Quadrat ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks konvex zu sein, ist notwendig dafür, dass das Viereck eine Raute ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist notwendig dafür, dass das Viereck ein Trapez ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist hinreichend dafür, dass das Viereck ein Trapez ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist notwendig und hinreichend dafür, dass das Viereck eine Trapez ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist ein Kriterium dafür, dass das Viereck ein Trapez ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist notwenig dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist hinreichend dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler seiten zu haben, ist ein Kriterium dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist notwendig und hinreichend dafür, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist hinreichend dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist notwendig dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist hinreichend dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist.
	Die Eigenschaft eines Vierecks, zwei Paare paralleler Seiten zu haben, ist ein Kriterium dafür, dass das Viereck ein Rechteck ist.

Punkte: 0 / 0

1. Welche Aussagen sind wahr?

	Wenn ein Viereck einen rechten Innenwinkel hat, dann ist es ein Quadrat.
	Wenn ein Viereck konvex ist, dann ist es eine Raute.
	Wenn ein Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat, dann ist es ein Trapez.
	Ein Viereck ist genau dann ein Trapez, wenn es Zwei Paare paralleler Seiten hat.
	Wenn ein Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat, dann ist es ein Parallelogramm.
	Ein Viereck ist genau dann ein Parallelogramm, wenn es zwei Paare paralleler seiten hat.
	Wenn ein Viereck zwei Paare paralleler Seiten hat, dann ist es ein Rechteck.
	Ein Viereck ist genau dann ein Rechteck, wenn es zwei Paare paralleler Seiten hat.

Punkte: 0 / 0

An dieser Stelle ist es sinnvoll zwei wichtige Begriffe der mathematischen Logik einzuführen: hinreichende und notwendige Bedingung
Lassen Sie uns die Begriffe an einem alltäglichen Beispiel erläutern:
Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell.
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)$\Rightarrow$ Behauptung (Das Zimmer ist hell).
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell.
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu.
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung.
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein so genanntes Kriterium (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

Beweise

Mathematische Sätze lassen sich im Unterschied zu Definitionen beweisen. Um einen Satz zu beweisen können verschiedene Beweistechniken angewendet werden.
Grundsätzlich unterscheidet man direkte von indirekten Beweisen. Außerdem gibt es noch so genannte Induktionsbeweise (vollständige Induktion, Wohlordnungsprinzip).

Direkter Beweis
Die Voraussetzung (A) eines Satzes wird solange durch Implikationen umgeformt, bis die Behauptung (B) herauskommt, z.B.:
$\ A \Rightarrow C \Rightarrow D \Rightarrow B$

Indirekter Beweis
Beim indirekten Beweisen unterscheidet man Widerspruchsbeweise (1) von Beweisen durch Kontraposition (2).

1. Widerspruchsbeweis:
   Beim Widerspruchsbeweis nimmt man das Gegenteil der Behauptung an (Annahme) und führt diese Annahme zu einem Widerspruch (meist zur Voraussetzung oder zu einem bereits bewiesenen Satz).
   (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
2. Beweis durch Kontraposition:
   Beim Beweisen durch Kontraposition nutzt man den folgenden Zusammenhang aus:
   $\ (\ A \Rightarrow B) \Leftrightarrow \ (\neg B \Rightarrow \neg A)$
   (warum dieser Zusammenhang gilt können Sie sich durch Aussagenlogik klar machen. (siehe auch: Gorski, Müller-Philipp: Leitfaden Arithmetik).
   Wenn man also die Behauptung negiert und daraus zeigen kann, dass die negierte Voraussetzung wahr ist, dann hat man auch den ursprünglichen Satz bewiesen.
   
   

Aufgabe: Formulieren Sie die Kontraposition des Wechselwinkelsatzes.