Übung 7 (SoSe 12)

Aufgabe XXX

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) $\ AB^{+} \cap BA^{+} =$

b) $\ AB^{-} \cap BA^{-} =$

c) $\ AB$ geschnitten mit dem Kreis um $\ A$ durch $\ B$ =

d)$\ AB \cap BA =$

Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$ und eine Gerade g.
Behauptung: Wenn g eine Seite von $\overline{ABC}$ schneidet, dann schneidet g genau eine weitere Seite von $\overline{ABC}$.

a) Vergleichen Sie diese Behauptung mit dem Axiom von Pasch. Wo liegt der Unterschied?
b) Widerlegen Sie die Behauptung durch eine Skizze.
Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Die grauen Flächen seien Punktmengen (Teilmengen einer Ebene). Welche Figuren sind konvex? Warum (nicht)?

Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Student XY argumentiert: "Weil $\overline{AB}$ komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."
Wo liegt XYs Denkfehler?
Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

a) Beweisen Sie den Satz.
b) Wie lautet die Kontraposition?
c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze.
Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Definieren Sie Halbebene.

Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Definieren Sie Halbraum.

Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Außerdem sei eine Gerade g Teilmenge von E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge.
Es gilt folgender Zusammenhang:

$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$

a) Fertigen Sie eine Skizze an, aus der der oben genannte Zusammenhang ersichtlich wird.
b) Beweisen Sie den oben genannten Zusammenhang.

Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)