Übung 7 (SoSe 12)

Aufgabe XXX

Es seien A und B zwei verschiedene Punkte. Welche Ergebnisse erzielen Sie nach den folgenden Mengenoperationen?

a) $\ AB^{+} \cap BA^{+} =$

b) $\ AB^{-} \cap BA^{-} =$

c) $\ AB$ geschnitten mit dem Kreis um $\ A$ durch $\ B$ =

d)$\ AB \cap BA =$

Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Gegeben sei ein Dreieck $\overline{ABC}$ und eine Gerade g.
Behauptung: Wenn g eine Seite von $\overline{ABC}$ schneidet, dann schneidet g genau eine weitere Seite von $\overline{ABC}$.

a) Vergleichen Sie diese Behauptung mit dem Axiom von Pasch. Wo liegt der Unterschied?
b) Widerlegen Sie die Behauptung durch eine Skizze.
Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Die grauen Flächen seien Punktmengen (Teilmengen einer Ebene). Welche Figuren sind konvex? Warum (nicht)?

Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Student XY argumentiert: "Weil $\overline{AB}$ komplett innerhalb der Punktmenge liegt, ist die Figur konvex."
Wo liegt XYs Denkfehler?
Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Satz: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

a) Beweisen Sie den Satz.
b) Wie lautet die Kontraposition?
c) Wie lautet die Umkehrung? Widerlegen Sie die Umkehrung durch eine Skizze.
Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Ergänzen Sie die Definition für offene Halbebenen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$
("Offen" bedeutet hier: Die Halbebene ohne die Gerade, die die Ebene teilt).
Definition (offene Halbebene):

Es sei E eine Ebene, in der die Gerade g und der Punkt Q liegen mögen. Q gehöre nicht zu g. Unter den offenen Teilmengen $\ gQ^{+}$ und $\ gQ^{-}$ bezüglich der Trägergeraden g versteht man die folgenden Teilmengen von E:

$\ gQ^{+}  := \{P|...\}$
$\ gQ^{-}  := \{P|...\}$
Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe XXX

Gegeben seien drei paarweise verschiedene und kollineare Punkte A, B und C in einer Ebene E. Außerdem sei eine Gerade g Teilmenge von E, wobei keiner der Punkte A, B und C auf g liegen möge.
Es gilt folgender Zusammenhang:

$\overline{AB} \cap g \neq \lbrace \rbrace \wedge \overline{BC} \cap g = \lbrace \rbrace \Rightarrow \overline{AC} \cap g \neq \lbrace \rbrace$

a) Fertigen Sie eine Skizze an, aus der der oben genannte Zusammenhang ersichtlich wird.
b) Beweisen Sie den oben genannten Zusammenhang.

Lösung von Aufgabe XXX (SoSe_12)

Aufgabe ccc

Unter dem Raum $\mathbb{P}$versteht man die Menge aller Punkte. Die Punktmenge $\varepsilon \subset \mathbb{P}$ sei eine Ebene. Gegeben sei ferner $\ Q$ mit $Q \in \mathbb{P} \wedge Q \not \in \varepsilon$. Definieren Sie die Begriffe Halbraum $\varepsilon Q^+$ und $\varepsilon Q^-$. Lösung von Aufg. ccc

Aufgabe ccc

Beweisen Sie: Ist O ein beliebiger Punkt einer Geraden g und A ein weiterer (von O verschiedener) Punkt dieser Geraden, so gilt für die Halbgeraden $\ OA^{+}$ und $\ OA^{-}$ :
a) $\ OA^{+} \cap \ OA^{-} = \{O\}$
b) $\ OA^{+} \cup \ OA^{-} = g$

Lösung von Aufg. ccc