Jede Abbildung ist durch drei nichtkollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt - eine Diskussion

Diskussion I

Vorbemerkung

Rein aus Erfahrung zeigt sich (leider), dass sich wohl auch in diese Diskussion nur wenige, bis gar keine Studis einbringen. Daher mein Appell: Einbringen :-) - nur so zum Spass um auch mal über andere Dinge zu diskutieren!

Was gibt es denn zu diskutieren?

Wir haben zur Erarbeitung des Reduktionssatzes die Gültigkeit des folgenden Satzes gezeigt:

Jede Bewegung ist durch drei nichtkollineare Punkte und deren Bilder eindeutig bestimmt.

Nun stellt sich die Frage: Gilt das auch für Abbildungen allgemein?

Zunächst denke ich kann man das nicht pauschalisieren, denn eine Abbildung muss ja nur linkstotal und rechtseindeutig sein, d. h. wenn meine Abbildung derart bestimmt ist, dass ich drei Punkte A, B, C habe und diese nach gut dünken derart auf die Ebene 'regnen' lasse, dass jedes Urbild ein Bild hat, dann ist das auch eine (sehr willkürliche) Abbildung.

Für welche Abbildungen gilt es denn dann?

Abbildung	Gültigkeit (ja/nein)?	Siehe Beweis
'geregnete Abbildung'	Keine Gültigkeit	siehe Einleitung
Alle Bewegungen	Gültigkeit	siehe Folien Reduktionssatz
Alle NAF von Bewegungen	Gültigkeit	NAF von Bewegung ist auch Bewegung
zentrische Streckung	Gültigkeit	siehe ZS-Beweis unten
5	5	5

Beweis zur Zentrischen Streckung (ZS-Beweis)

Vorüberlegung:

Ganz offensichtlich wird dieser Beweis derart ablaufen, dass das Streckzentrum durch zwei sich schneidende Geraden ermittelt wird. Benötigen wir also noch drei Punkte oder reichen zwei und deren Bilder? Für den Fall, dass wir lediglich zwei Punkte A und B und deren Bilder A' und B' betrachten, kann es sein, dass gilt: koll(Z, A, B). Der Beweis wäre dann nicht durchführbar! Wir brauchen also drei nichtkollineare Punkte und deren Bilder.

Beweis

Ebene Geometrie. Seien A, B und C drei nichtkollineare Punkte und A', B', C' deren Bilder bei der zentrischen Streckung $ZS_Z,_k$ mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k. Behauptung: Für alle Punkte der Ebene ist die Abbildung eindeutig bestimmt. Beweis erneut durch Widerspruch; Annahme: Es existiert ein Punkt D mit $ZS_Z,_k(D)$ = D' und D* und D' $\neq$ D*.

Überschrift 1	Überschrift 2
1	Es existieren die Geraden AA', BB' und CC'	Inzidenzaxiom I.1 :-)
2	Wegen nkoll(A, B, C) schneiden sich wenigstens zwei dieser Geraden im Punkt Z	Definition zentrische Streckung, Voraussetzung, (1)
3	Nach Definition zentrischer Streckung gilt: koll(Z, D, D', D*)	(2), Indidenzaxiom I.1 (Z und D liegen auf einer Gerade)
4	k = $\frac{|ZA'|} {|ZA|} = \frac{|ZB'|} {|ZB|} = \frac{|ZC'|} {|ZC|}$	Voraussetzung, Definition zentrische Streckung
5	Es gilt: $|Z ZS_Z,_k(D)| = |ZD|*k$	(4), Definition zentrische Streckung
6	Nach dem Axiom vom Lineal gibt es auf einem Strahl genau einen Punkt mit dem Abstand $|ZD|*k$ - da wir unsere zentrische Streckung mit einem gerichteten Vektor definiert haben, kann es keine zwei Punkte auf einem Strahl geben für den dieser Abstand gilt.

Das geht wohl auch einfacher. Interessant vor allem der Aspekt, dass ich den gerichteten Vektor benötige. Hätten wir zentrische Streckung anders definiert, hätte ich ein Problem und könnte den Beweis gar nicht führen! --Flo60 16:49, 26. Mai 2012 (CEST)

Diskussion II - völlig anderes Thema: 'Schwarze Löcher im Raum?'

Ganz offensichtlich gibt es Situationen, die das menschliche Hirn an den Rand seiner Kapazitätsgrenze bringen. Ein Beispiel dafür ist folgendes: Man nehme ein beliebiges Wort (Namen oder noch besser einen abstrakten Begriff, der nicht mit einem Gegenstand in Verbindung gebracht werden kann) und sage es solange vor sich hin, bis es jeglichen Sinn verliert und nur noch eine Aneinanderreihung von Buchstaben zu sein scheint :-).
Ein weiteres Beispiel ist die Frage, was denn hinter unserem Universum ist - nix kann es ja irgendwie nicht sein, denn das Universum muss ja irgendwo liegen. Wahrscheinlich sucht hier die Religion nach Antworten - oder wenn man es mit Dan Brown hält (Autor 'Illuminati'), dann das 'Gottpartikel' oder die Wissenschaftler im CERN in der Schweiz. Appropos CERN: Vor nicht allzulanger Zeit gab es dort bedenken, dass durch die Partikelkollision im LEP (Large Electron-Positron Collider) zur Entstehung von schwarzen Löchern käme. Nun stellt sich folgende Frage:

Können wir in unserer Mathematik auch ein schwarzes Loch schaffen - ohne CERN?

Ich denke, dass das möglich ist und zwar relativ einfach. Ich definiere Schwarzes Loch wie folgt:

Definition (Schwarzes Loch): Sei Z ein Punkt des Raums. Wenn Z Streckzentrum der zentrischen Streckung 
mit k = 0 ist, 

dann ist Z schwarzes Loch des Raums.

Und jetzt sind wir wieder bei den Grenzen des menschlichen Hirns:
Wir haben natürlich bei unserer Zentrischen Streckung k $\neq$ 0 definiert - aber warum sollten wir das nicht zulassen - es gibt ja schwarze Löcher auch in Wirklichkeit :-). Stellt sich allerdings wieder die alte Frage: Wenn alle Punkte des Raumes (ich habe deshalb den Raum und nicht die Ebene gewählt, weil es schöner ist :-) ) auf den Punkt Z abgebildet werden, was passiert dann mit dem Raum an sich? Er kann ja eigentlich nicht kleiner werden? Wer kennt die Antwort? Gibt es eine?
--Flo60 08:38, 29. Mai 2012 (CEST)

42
;-) --Studentin 23:23, 5. Jun. 2012 (CEST)

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