Winkelmessung SS 2012

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\omega$ zwischen 0 und 180.

Definition V.5: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\omega$, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$.

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $\ g \equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\ \varepsilon$. Zu jeder reellen Zahl $\ \omega$ mit $\ 0 < \omega < 180$ gibt es in jeder der beiden durch $\ g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\ \varepsilon$ genau einen Strahl $\ SB^+$ mit $\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|$.

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt $\ P$ zum Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ gehört , dann gilt $\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|$.

Satz V.2

Wenn der Punkt $P$ im Inneren des Winkels $\angle ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\angle ASP$ und $\angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\angle ASB$.

Rechte Winkel

Definition V.6 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.7 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz V.3 : (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Beweis von Satz V.3 :

Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.

Nach Definition V.6 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat.

Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt.

Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom IV.2 (Winkelkonstruktionsaxiom) besagt, dass es in jeder der beiden Halbebenen einer Ebene bezüglich etwa der Geraden $\ SA$ zu jeder beliebigen Zahl zwischen 0 und 180 genau einen Winkel $\ \angle ASP$ gibt, dessen Größe gerade die Zahl zwischen 0 und 180 ist. Die Zahl 90 ist größer als 0 und kleiner als 180 und demzufolge als Winkelmaß zulässig.

Satz V.4 :

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Beweis von Satz V.4 :

Schreiben Sie das Skript selbst. Das Video ist als Hilfe zu verstehen.

Die Relation Senkrecht auf verschiedenen Punktmengen

Definition V.8 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien $g$ und $h$ zwei Geraden. Wenn sich $g$ und $h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $g$ und $h$ senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $g \perp h$ (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Bemerkung: Testen Sie ob die Definition korrekt ist: Warum muss nicht gefordert werden, dass die beiden Geraden komplanar sind?

Definition V.9: (senkrecht für Strecken und Geraden)

Eine Gerade $g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

Definition V.10: (senkrecht für Strecken)

Zwei Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{PQ}$ stehen senkrecht zueinander, wenn ... .

Definition V.11: (senkrecht für Ebenen und Geraden)

Eine Gerade $g$ steht senkrecht auf einer Ebene $\varepsilon$ wenn, ... .

Definition V.12: (senkrecht für Ebenen)

Eine Ebene $\varepsilon$ steht senkrecht auf einer Ebene $\alpha$, wenn ... .

Eigenschaften der Relation senkrecht

1. Für beliebige $g, h, i$ aus der Menge der Geraden der Ebene gilt:

	$g \perp g$
	$g \perp h \Rightarrow h \perp g$
	$g \perp h \wedge h \perp i \Rightarrow g \perp i$
	$g \perp h \vee g \equiv h$

Punkte: 0 / 0

Satz V.5: (Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten zu einer Geraden auf einem Punkt dieser Geraden)

Es sei $g$ eine Gerade der Ebene $\varepsilon$. Ferner sei $P$ ein Punkt auf $g$. In der Ebene $\varepsilon$ gibt es genau eine Gerade $s$, die durch $P$ geht und senkrecht auf $g$ steht.

Beweis von Satz V.5

Aufgabe_Tutorium

Einige Lemmata

Vorbemerkungen

Unter einem Lemma versteht der Mathematiker einen Hilfssatz. Wir geben hier die folgenden Hilfssätze an, die wir im weiteren verwenden werden, ohne sie hier bewiesen zu haben. Die Beweise dieser Lemmata sind nicht wirklich schwer aber unerquicklich.

Wer sich für die Beweise interessiert findet sie hier:

[1]

Lemma W/1

Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte $A, B, S$. Wenn $P$ ein Punkt der offenen Strecke $\overline{AB}$ ist, dann liegt der Strahl $SP^+$ vollständig im Inneren von $\angle ASB$.

Lemma W/2

Liegt ein Punkt $P$ im Inneren eines Winkels mit dem Scheitel $S$, dann liegt der gesamte Strahl $SP^+$ im Inneren dieses Winkels.

Lemma W/3

Es seien $A,B,S$ drei nichtkollineare Punkte. WEenn der Punkt $P$ im Inneren des Winkels $\angle ASB$ und nicht auf den Schenkeln dieses Winkels liegt, dann schneidet der Strahl $SP^+$ die offene Strecke $\overline{AB}$.