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Halbebenen und das Axiom von Pasch

Halbebenen

Analogiebetrachtungen

Halbgeraden	Halbebenen

Objekt $\ G$, das in Klassen eingeteilt wird
$\ G$ ist eine ...	$\ G$ ist eine ...
Dimension von $\ G$
Dimension von	Dimension von
Objekt $\ T$, das $\ G$ in Klassen einteilt
$\ T$ ist ...	$\ T$ ist ...
Dimension von $\ T$
$\ T$ hat die Dimension ...	$\ T$ hat die Dimension ...
Referenzpunkt $\ Q$ teilt $\ G \setminus_{\{ Q \}}$ in genau zwei Klassen
Klasse 1: Menge aller Punkte $\ P\mathrm{\in }G$ , die mit $\ Q$ bezüglich $\ T$ „auf derselben Seite liegen“
$\ AQ^{+} = \{P| ... \}$	$\ gQ^{+} = \{P| ... \}$
Klasse 2: Menge aller Punkte $P\mathrm{\in }G$, die bezüglich $\ T$ nicht auf der Seite von $\ Q$liegen.
$\ AQ^{-} = \{P| ... \}$	$\ gQ^{-} = \{P| ... \}$

Definition des Begriffs der Halbebene

Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen

Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene $\Epsilon$ gehört u.a., dass jede Gerade $\ g$, die zu unserer jeweiligen Ebene $\Epsilon$ gehört, diese in zwei Hälften bzw. zwei Seiten einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden Seiten von $\Epsilon$ bezüglich der Geraden $\ g$ verwenden wir einen Punkt $\ Q \in \Epsilon$, welcher nicht zu $\ g$ gehören sollte.
Zu der einen Hälfte von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ gehören alle die Punkte aus $\Epsilon \setminus g$, die mit $\ Q$ auf derselben Seite von $\ g$ liegen. Alle anderen Punkte aus $\Epsilon \setminus g$ gehören zur anderen Seite von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$.

offene Halbebenen

Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene $\ \Epsilon$, die nicht auf einer Geraden $\ g$ dieser Ebene liegen, durch diese Gerade $\ g$ eingeteilt werden, heißen offene Halbebenen von $\ \Epsilon$ bezüglich der Trägergeraden $\ g$. Der nicht zu $\ g$ gehörende Referenzpunkt $\ Q \in \Epsilon$ bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich $\ g$ mit $\ Q$ auf derselben seite liegen wird mit $gQ^{+}$ bezeichnet, die andere offene Halbebene von $\ \Epsilon$ bezüglich $\ g$ und $\ Q$ mit $gQ^{-}$.