Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)

Zeigen Sie, dass für drei paarweise verschiedene Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt:
$\operatorname Zw (A, B, C)$ $\Rightarrow$ $\overline{AB}$ $\subset$ $\overline{AC}$

Tipps zu Aufgabe 5.2 (SoSe_12)

Lösung von RitterSport

Version a

Schritt	Aktion
(1)	Zw (A,B,C)
(2)	VxE $\overline{AB}$ .xE $\overline{AC}$ UND (VxE $\overline{AC}$ .xE $\overline{AB}$ ODER xnichtE $\overline{AB}$ )
(3)	$\overline{AB}$ c $\overline{AC}$

Wie schreibt man bloß diese Formeln? (außer zu kopieren)^^
--RitterSport 16:44, 20. Mai 2012 (CEST)

Version b

Wäre Folgendes möglich?
Wegen Axiom I/1: $\overline{AC}$
Wegen Zw (A,B,C): | $\overline{AB}$ | + | $\overline{BC}$ | = | $\overline{AC}$ |
Somit ist $\overline{AB}$ c $\overline{AC}$

Da ist was wahres dran, überzeugt mich so jedoch noch nicht.--*m.g.* 17:56, 20. Mai 2012 (CEST)

--RitterSport 16:56, 20. Mai 2012 (CEST)

Hinweise von M.G. zu LaTex

Schön, dass Sie sich an die LaTex-Syntax herantrauen. Kleine Motivationshilfe: Sie können diese Syntax auch in den modernen Wordversionen und natürlich in Open Office verwenden. LaTex selbst ist ein Textsystem für mathematische Texte, das Freeware ist. In LaTex selbst wird der Beginn und das Ende einer mathematischen Formel durch das Dollarzeichen gekennzeichnet. Hier in der Wikiseitenbeschreibungssprache verwenden wir nicht das Dollarzeichen sondern die Tags

 <math> </math>

.

Eine umfassende Hilfe zu LaTex im Rahmen des Wikis finden sie hier [1]

Wenn Sie irgend etwas Bestimmtes suchen können Sie auch googeln: Nehmen wir an, Sie suchen das Zeichen für "für alle x": Geben Sie in Google die Suche "für alle x LaTex" ein und Sie sollten recht schnell fündig werden.

Hinweise von M.G. zu den Lösungsversuchen von RitterSport

Irgendwie scheinen Sie selbst noch nicht ganz überzeugt von Ihren Beweisen. Sie müssen die im übrigen nicht so formal schreiben, sie dürfen auch textliche Sätze (o-Ton von meinem ehemaligen Chemielehrer) verwenden.

Also ich versuche es mal:

Es seien $A, B$ und $C$ drei paarweise verschiedene Punkte, von denen der Punkt $B$ zwischen den beiden anderen Punkten, also $A$ und $B$ , liegt.

Zeigen sollen wir, dass nun die Strecke $\overline{AB}$ eine Teilmenge der Strecke $\overline{AC}$ ist.

Dieses hätten wir gezeigt, wenn wir nachgewiesen hätten, dass jeder Punkt von .... auch ein Punkt ..... (ergänzen Sie selbst.)

Es sei nun $P$ ein beliebiger Punkt der Strecke $\overline{AB}$ .

Weil $P$ zur Strecke $\overline{AB}$ gehört, liegt er entsprechend der Definition des Begriffs Strecke zwischen den beiden Punkten .... (ergänzen Sie wieder selbst)

Da nun der Punkt $P$ zwischen den Punkten .... liegt, gilt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die folgende Gleichung:

....

Zeigen wollen wir, das $P$ auch zwischen .... liegt.

Entsprechend der Definition der Zwischenrelation wäre letzteres der Fall, wenn die Gleichung ... gelten würde.

Für den Nachweis der Gültigkeit der obigen Gleichung dürfen wir die Voraussetzung, dass $B$ zwischen $A$ und $C$ liegt verwenden. Als Gleichung ausgedrückt stellt sich diese Voraussetzung wie folgt dar: ....

Jetzt haben Sie zwei Gleichungen, von denen Sie ausgehen dürfen und eine deren Gültigkeit Sie nachweisen müssen. Wenn Sie wissen, welche Gleichungen das sind, sollte der Beweis kein Problem mehr sein. Viel Erfolg! --*m.g.* 17:55, 20. Mai 2012 (CEST)

Lösungsvorschlag (oz44oz)

--Oz44oz 17:58, 21. Mai 2012 (CEST)

--H2O 18:18, 21. Mai 2012 (CEST)

Frage zum Lösungsvorschlag von H20
--Kopernikus 18:40, 22. Mai 2012 (CEST)
Ich weiß nicht, ob deine Vorraussetzung so richtig ist
Ich glaube da geht ein Teil der Vorraussetzung frend mit der Behauptung. Was mir noch aufgefallen ist und über was ich mir auch den Kopf zerbrochen hab ist, ob man irg. sagen kann, dass koll(ABC)

In der Aufgabe steht das nicht. Es steht da, sie sind paarweise verschieden und zw(ABC).

Ich hab das mal rausgeschrieben, was meiner Meinung nach dafür notwendig wäre. Jedoch bin ich immer wieder in die Schranken gewiesen worden. :-(
Einfach zu sagen sie sind halt koll geht glaube ich nicht.

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

es wird in der Def. kollinear von einer Geraden, nicht von einer Stecke gesprochen. Ich weiß leider noch zu wenig über die Strecke. Ich weiß nichtmal, dass die ein Teil einer Geraden sein könnte.

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Falls $\operatorname{koll} \left( ABC \right)$ , dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $\ A$ , $\ B$ und $\ C$ kollinear.

ich kann nicht sagen Sie sind kollinear, wenn ich nicht weis, ob

Definition II.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $\ B$ liegt zwischen zwei Punkten $\ A$ und $\ C$ , wenn gilt:

$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ und
$\ A$ , $\ B$ und $\ C$ sind paarweise verschieden.

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)<br /><br />$ sagt nichts über kollinear

Definition II/3 "Vorschlag Kopernikus" Def. Strecke)

Die Strecke $\overline{AB}$ ist die Menge aller Punkte, die vereinigt mit A und B zwischen A und B liegen.--Kopernikus 15:52, 22. Mai 2012 (CEST)
sagt auch nnichts über kollinear.

Ich finde deshalb oz44oz Lösung sehr gut und denke auch, dass diese so richtig ist. :-)
--Kopernikus 18:39, 22. Mai 2012 (CEST)

Anmerkungen von Buchner zu Lösungsvorschlag (oz44oz) und Diskussion

Sie führen eine sehr gute Diskussion. Zunächst dazu, ob aus $\operatorname(Zw) (A, B, C)$ gefolgert werden kann, dass gilt $\operatorname{koll}(A, B, C)$ . Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz
$\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \operatorname{koll}(A, B, C)$ leicht beweisen. Tipp: Schauen Sie das Axiom Dreiecksungleichung nochmal genau an!

Die Lösung von oz44oz fängt sehr gut an und ist gut aufgeschrieben. Ich sehe aber ein Problem: Wie können Sie aus Schritt 5 den Schritt 6 begründen? Sie stecken hier ziemlich viel "Hintergrundwissen" rein, was Sie aus der Anschauung gewinnen, also z.B. aus einer Skizze. Für einen formalen Beweis reicht das leider nicht.
Also konkret: Sie behaupten in Schritt 5 und 6 einfach, dass $\left| PB \right| + \left| BC \right| = \left| PC \right|$ ist. Warum sollte das so sein? Wenn Sie es hier schaffen, sauber zu begründen (d.h. die fehlenden Beweis- und Begründungsschritte einzufügen), sind wir ein gutes Stück weiter.
Frage an Fr. Buchner
"Die Antwort ist: Ja. Sie können den Satz
$\operatorname(Zw) (A, B, C) \Rightarrow \operatorname{koll}(A, B, C)$ leicht beweisen.
Vielleicht hat man mich falsch verstanden." Ich kann doch nur weil ich was vielleicht beweisen darf einfach so annehmen und mit dazu in die Vor. stecken ...oder doch??? Und wenn nicht muss ich das sagen, dass ich die wegen des Satzes weiß.--Kopernikus 17:02, 23. Mai 2012 (CEST)

Satz II.2:

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ .

Ist trivial....der Leser überzeugt sich davon... Aber ich würde es auf jedenfall vermerken, dass ich mich auf den Satz berufe....die Frage ist jedoch, darf ich was annehmen, nur weil es trivial ist? Wo ziehe ich die Grenze was trivial ist und was nicht? Zitat aus der Vorlesung von m.g. in seinem Studium war viel trivial was nicht gleich ersichtlich ist." Ich brauche ein Axiom um zu zweigen, dass für :Für zwei beliebige Punkte $\ A$ und $\ B$ gilt $\left| AB \right| = \left| BA \right|$ . das ist für mich auch trivial.--Kopernikus 17:29, 23. Mai 2012 (CEST)

Antwort an Kopernikus Ich gebe Ihnen Recht- Wenn "trivial" als Beweis für einen Satz steht, ist das nicht zufriedenstellend. Aber trivial bedeutet, dass man es ganz leicht beweisen kann- im Gegensatz zu einem Axiom. $\left| AB \right| = \left| BA \right|$ können Sie nicht beweisen, deshalb müssen wir es axiomatisch fordern.
Sowohl Axiome als auch Sätze können leicht ersichtlich sein- der Unterschied ist, dass wir Axiome nicht beweisen können und Sätze beweisen müssen.
Ich gebe Ihnen einen Tipp für den Satz
Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ .
Die Entscheidende Begründung (innerhalb des realtiv kurzen Beweises) liegt im letzten Teil der Dreiecksungleichung: Zitat: "Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind A, B und C kollinear"
.--Buchner 13:47, 24. Mai 2012 (CEST)

Lösung von H₂O

--H2O 20:06, 28. Mai 2012 (CEST)

Kommentar M.G.

Wenn $|AB|+|BC|=|AC|$ gilt, dann ist unmittelbar klar, dass $|AC|>|BC|$ gilt. O.B.d.A. ist somit nicht angebracht. Die weiteren Beweischritte überzeugen dann allerdings nicht.

Zu zeigen ist: $\forall X \in \overline{AB}: X \in \overline{AC}$ .
Annahme: nicht alle $X$ der Strecke $\overline{AB}$ gehören zu $\overline{AC}$
also Annahme: Die Strecke $\overline{AB}$ enthät einen Punkt $P$ , der nicht zu $\overline{AC}$ gehört:
$\exist P \in \overline{AB}: P \notin \overline{AC}$
Wir übersetzen die Annahme: Es gibt ein $P$ auf $\overline{AB}$ bedeutet: Es gibt ein $P$ , für den die Gleichung
(I) $|AP|+|PB|=|AC|$ gilt.
Der nicht zu $\overline{AC}$ gehört:
(II) $|AP|+|PC|\not= |AC|$

Zusammen mit der Gleichung aus Schritt 2 Ihres Beweises sollte das Problem jetzt zu knacken sein. Viel Spaß dabei.--*m.g.* 10:19, 29. Mai 2012 (CEST)

Lösungsversuch 2 von H₂O

danke, somit zweiter Versuch

--H2O 19:43, 31. Mai 2012 (CEST)

Kommentar M.G.

Voraussetzung

$A \not= B \not= C \not= A$ und $\operatorname{Zw}(A,B,C)$ ist in Ordnung

Behauptung

$\overline{AB} \subset \overline{AC}$ ist in Ordnung

Annahme

Es existiert $P \in \overline{AB}: P \not \in \overline{AC}$ Der Beweis wird indirekt per Widerspruch geführt, ist so in Ordnung.

Beweisschritt 1

Wir berufen uns auf die Voraussetzung $\operatorname{Zw}(A,B,C)$ , das dürfen wir und es ist auch sinnvoll das zu tun.

Beweisschritt 2

Aus (1) (wäre in der Begründung anzugeben) folgt entsprechend der Definition der Zwischenrelation die Gleichung $|AB|+|BC|=|AC|$ . korrekt

Beweisschritt 3

Wir versuchen, die Annahme ins Spiel zu bringen. Das macht Sinn. Ich nehme an, den Schreibfehler haben Sie bereits gesehen. korrekt wäre: $\exist P \in \overline{AB}: P \not \in \overline{AC}$

Beweisschritt 4

Wenn die Annahme richtig wäre, könnte $P$ nicht zwischen $A$ und $C$ liegen und damit würde die Gleichung $|AP|+|PC|=|AC|$ nicht gelten, was, wie Sie es korrekt formuliert haben, $|AP|+|PC|\not=|AC|$ bedeuten würde.

Beweisschritt 5

Jetzt wird es falsch. Schritt 4 lieferte uns $|AP|+|PC| \not= |AC|$ . Demnach können 2 Fälle auftreten: entweder die linke Seite der Ungleichung ist größer als die rechte Seite der Ungleichung oder die linke Seite der Ungleichung ist kleiner als die rechte Seite der Ungleichung:
Fall 1: $|AP|+|PC| < |AC|$
Fall 2: $|AP|+|PC| > |AC|$
Sie betrachten nur Fall 1, diesen jedoch nicht korrekt. Wenn die Ungleichung $|AP|+|PC| \not= |AC|$ gilt (und davon gehen wir bei unserem Widerspruchsbeweis ja aus) kann nicht der Fall $=$ auftreten. Also einfach nur $<$ bzw. $>$ .

Beweisschritt 6

Sie untersuchen Fall 1: $|AP|+|PC| < |AC|$ . $|AC|$ wird entsprechend (2) durch $|AB|+|BC|$ ersetzt, was uns $|AP|+|PB|<|AB|+|BC|$ liefert.

Beweisschritt 7

Jetzt geht es durcheinander. Sie bringen $\operatorname{Zw}(A,P,B)$ und $\operatorname{Zw}(A,B,C)$ ins Spiel. Sie begründen mit der Definition der Zwischenrelation. Ich muss jetzt vermuten, warum Sie gerade jetzt auf $\operatorname{Zw}(A,P,B)$ und $\operatorname{Zw}(A,B,C)$ kommen. Ich habe den Verdacht, dass Sie das aus der linken und aus der rechten Seite der Ungleichung aus Schritt 7 schließen. Das wäre nicht korrekt. Allein aus der Aussageform $|AP|+|PB|$ können Sie nicht auf $\operatorname{Zw}(A,P,B)$ schließen. Dazu bedarf es einer Gleichung und nicht einer Ungleichung. Das Verrückte ist, dass Sie mit der Gültigkeit von $\operatorname{Zw}(A,P,B)$ und $\operatorname{Zw}(A,B,C)$ recht haben. $B$ liegt nach Voraussetzung zwischen $A$ und $C$ und entsprechend unserer Annahme gehen wir davon aus, dass $P$ ein Punkt der Strecke $\overline{AB}$ ist und somit $\operatorname{Zw}(A,P,B)$ gilt. Ich komme auf den Verdacht, dass Sie die Zwischenrelationen aus (6) ableiten, weil wir für die Gültigkeit der genannten Zwischenbeziehungen ja eigentlich keine Gleichung gebraucht hätten. Die Aussage von Schritt 7 hätten wir schon längst haben können. Es hätte nicht der Schritte (4), (5) und (6) bedurft.

Beweisschritt 8

Jetzt wird es definitiv falsch. Aus $\operatorname{Zw}(A,P,B)$ und $\operatorname{Zw}(A,B,C)$ kann auf keinen Fall $P=B$ gefolgert werden.

Beweischritt 9

Wäre korrekt, wenn (8) korrekt wäre. (8) war aber leider nicht korrekt.

Lösung RitterSport

Meine Idee:
Voraussetzung: Zw(A,B,C), A n=B n=C n=A
Behauptung: Die Strecke AB ist eine echte Teilmenge von der Strecke AC
Beweis:

Nr	Beweisschritt	Begründung
(1)	Zw(A,B,C)	Voraussetzung
(2)	AB\| + \|BC\| = \|AC\|	(1), Zw.-Rel.
(3)	C Element AB+	(1), Def. Halbgerade
(4)	koll(A,B,C)	(2), II.3

zu zeigen: Alle x von $\overline{AB}$ sind in $\overline{AC}$ UND es existieren x in $\overline{AC}$ , die nicht in $\overline{AB}$ sind.

$\overline{AB}$ besteht aus den Punten A(Fall 1), B(Fall 2) und den Punten zwischen A und B(Fall 3).
Nun muss ich zeigen, dass alle 3 Fälle auch in $\overline{AC}$ liegen.

Fall 1: A gehört zu $\overline{AC}$ (trivial), weil $\overline{AC}$ definiert ist als: $\overline{AC}$ ={P\AB+BC=AC} (2)
Fall 2: B gehört zu $\overline{AC}$ , da koll(A,B,C)(3) und Zw(A,B,C)(1)
Fall 3: Zw(A,X,B) gehört zu $\overline{AC}$ weil wir das gleich im Widerspruchsbeweis zeigen.

Wir wollen zeigen, dass X nicht nur zwischen A und B liegt, sondern auch zwischen A und C. Wenn wir zeigen können, dass koll(A,X,C) gilt, wissen wir, dass eine Zwischenreation gilt.

Überschrift 1	Überschrift 2
(3.1): koll(A,B,C)	(4)
(3.2): Zw(A,X,B)	Fall 3
(3.3): X Element AB+	(3.2)
(3.4): koll(A,X,B)	(3.2), Dreiecksungleichung
(3.5): koll(A,X,C)	(3.1), (3.4) darf man das?
(3.6): Zw(A,X,C) v Zw(X,A,C) v Zw(A,C,X)	(3.5), Dreiecksungleichung

Mind. eine der 3 Zwischenrelationen muss gelten.
Nun zeige ich noch, dass 2 der 3 Zwischenrelationen nicht gelten und weiß somit, dass die 3. gilt.
Da X Element von $\overline{AC}$ sein muss, fallen doch Zw(X,A,C) und Zw(A,C,X) weg. Für was brauche ich dann noch die beiden Annahmen?

Annahme 1: Zw(X,A,C)
Widerspruch zu (3.3 --> X Element AB+)
und: Dann ist X nicht mehr Element $\overline{AC}$
Annahme 2: Zw(A,C,X)
Dann ist X nicht mehr Element $\overline{AC}$

Je länger ich über den Beweis nachdenke, desto unzufriedener werde ich.
Ich nehme an, dass ich Annahme 1 und 2 nicht so begründen darf.
Könnte mir nochmal jemand einen Tip geben?

Anmerkungen von Buchner zur Lösung von RitterSport

Ihre Vorgehensweise gefällt mir sehr gut und alles ist gut nachvollziehbar und gut begründet. Gehen wir den Beweis mal Schritt für Schritt durch.

Obere Tabelle: Gute Idee- Sie schreiben alles auf, was Sie aus der Voraussetzung schonmal folgern können. (3) müssen Sie etwas anders begründen. Dass $C \in \ AB^{+}$ gilt wegen (1) und der Definition von Halbgerade. Ansonsten Super!

Sehr schön, wie sie das zu zeigende nochmal ausformuliert haben! Fallunterscheidung auch gut- aber Achtung: Bei Fall drei müssen sie nicht zeigen, dass Zw(A,X,B) gilt. Das ist ihre Annahme für Fall drei, d.h. das steht hier fest. Zu zeigen ist für Fall drei, dass $X \in\overline{AC}$ , d.h. dass $\operatorname(Zw)(A,X,C)$ gilt.

Ihre Idee eines Widerspruchsbeweises ist gut. Also:
Fall drei:
Vor: $\operatorname(Zw)(A,X,B)$ (und zusätzlich alles aus der obersten Tabelle)
Beh: $\operatorname(Zw)(A,X,C)$ und somit $X \in\overline{AC}$ .

a) Zunächst müssen wir zeigen, dass $\operatorname{koll}(A, X, C)$ , denn dann wissen wir, dass genau eine der Zwischenrealtionen gilt.
b) Anschließend führen wir die beiden Zwischenrealtionen $\operatorname(Zw)(A,C,X)$ und $\operatorname(Zw)(X,A,C)$ zum Widerspruch.

Können Sie hier weitermachen?
--Buchner 11:35, 11. Jun. 2012 (CEST)
Vielen Dank für Ihre Rückmeldung.
Ich versuche mein Glück und überarbeite das Fehlerhafte nochmal.

Lösung von Aufgabe 5.2 S (SoSe 12)