Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung SoSe 12

Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.
Konstruieren Sie nachfolgend die Mittelsenkrechte:

Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)

Es sei $\ m$ eine Gerade und $\overline{AB}$ eine Strecke, die durch $\ m$ im Punkt $\ M$ geschnitten wird. $\ m$ ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$, wenn

1. $m \perp AB$
2. $\left| AM \right| = \left| MB \right|$

Zusammenhang Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung

Es sei g eine Gerade und $P\not\in g$, ein beliebiger Punkt der mit g in der gleichen Ebene liegt. P' sei der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung $S_{g}$.
Nach der Definition Mittelsenkrechte und der Definition Geradenspiegelung ist die Spiegelgerade g Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{PP'}$.

Konstruktion eines Bildpunktes P' bei der Spiegelung $S_{g}(P)$ mit Zirkel und Lineal

Nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der Konstruktion des Bildpunktes P' bei der Spiegelung $S_{g}(P)$

Welche mathematischen Zusammenhänge zwischen den Punkten A,B,P und P' wurde für die Konstruktion genutzt?
Ihre Antwort:

Wir können uns nun fragen: Ist der Punkt $P'$, den wir oben konstruiert haben, tatsächlich der Bildpunkt von P bei der Spiegelung $S_{g}(P)$?
Wenn wir beweisen könnten, dass $g$ tatsächlich die Mittelsenkrechte der Strecke $\overline{PP'}$ ist, dann wären wir fertig, denn dann wäre nach Definition Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung, P' tatsächlich Bildpunkt von P bei der Spiegelung $S_{g}$.
Nach unserer Konstruktion gilt: $\left| AP \right| =\left| AP' \right|$ und $\left| BP \right| =\left| BP' \right|$. Wir können also sagen, die beiden Punkte A und B haben zu den beiden Endpunkten der Strecke $\overline{PP'}$ nach Konstruktion jeweils ein- und denselben Abstand. Außerdem gilt nach Konstruktion, dass A und B auf der Spiegelachse g liegen. Wenn wir nun beweisen könnten, dass alle und nur die Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke liegen zu den beiden Endpunkten dieser Strecke ein- und denselben Abstand haben, wüssten wir sicher, dass g die Mittelsenkrechte von $\overline{PP'}$ ist. Genau das wollen wir jetzt beweisen. Wir gliedern dazu die obige Aussage in zwei Sätze:

Satz VI.1 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{PP'}$gehört.)

Wenn ein Punkt $\ A$ zu den Endpunkten der Strecke $\overline{PP'}$ jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von $\overline{PP'}$.

Satz VI.1 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von $\overline{PP'}$ gehört)

Wenn ein Punkt $\ A$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{PP'}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ P$ und $\ P'$ ein und denselben Abstand.

Beweisen werden wir die beiden Sätze mit abbildungsgeometrischen Methoden in der kommenden Vorlesung!

Wir können nun die beiden Sätze VI.1 a und VI.1 b zu einem neuen Satz zusammenfassen:

Satz VI.2: (Mittelsenkrechtenkriterium)

Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$, wenn $\left| AP \right| =\left| BP \right|$ gilt.