Halbebenen und das Axiom von Pasch
Halbebenen
Analogiebetrachtungen
Objekt , das in Klassen eingeteilt wird
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ist eine ...
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ist eine ...
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Dimension von
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Dimension von
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Dimension von
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Objekt , das in Klassen einteilt
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ist ...
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ist ...
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Dimension von
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hat die Dimension ...
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hat die Dimension ...
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Referenzpunkt teilt in genau zwei Klassen
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Klasse 1:
Menge aller Punkte , die mit bezüglich „auf derselben Seite liegen“
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Klasse 2:
Menge aller Punkte , die bezüglich nicht auf der Seite von liegen.
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Definition des Begriffs der Halbebene
Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen
Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene gehört u.a., dass jede Gerade , die zu unserer jeweiligen Ebene gehört, diese in zwei Hälften bzw. zwei Seiten einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden Seiten von bezüglich der Geraden verwenden wir einen Punkt , welcher nicht zu gehören sollte.
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Zu der einen Hälfte von bezüglich gehören alle die Punkte aus , die mit auf derselben Seite von liegen. Alle anderen Punkte aus gehören zur anderen Seite von bezüglich .
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Offene Halbebenen
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene
, die nicht auf einer Geraden
dieser Ebene liegen, durch diese Gerade
eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von
bezüglich der Trägergeraden
. Der nicht zu
gehörende Referenzpunkt
bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich
mit
auf derselben Seite liegen, wird mit
bezeichnet, die andere offene Halbebene von
bezüglich
und
mit
.
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was es denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte
und
einer Ebene
auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden
liegen.
Definition IV.1: (offene Halbebene)
- Es sei
eine Ebene in der die Gerade
liegen möge. Ferner sei
ein Punkt der Ebene
, der nicht zur Geraden
gehört.
Unter den offenen Halbebenen
und
der Ebene
bezüglich der Trägergeraden
versteht man die folgenden Punktmengen: