Halbebenen und das Axiom von Pasch
Halbebenen
Analogiebetrachtungen
Objekt , das in Klassen eingeteilt wird
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ist eine ...
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ist eine ...
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Dimension von
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Dimension von
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Dimension von
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Objekt , das in Klassen einteilt
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ist ...
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ist ...
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Dimension von
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hat die Dimension ...
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hat die Dimension ...
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Referenzpunkt teilt in genau zwei Klassen
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Klasse 1:
Menge aller Punkte , die mit bezüglich „auf derselben Seite liegen“
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Klasse 2:
Menge aller Punkte , die bezüglich nicht auf der Seite von liegen.
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Definition des Begriffs der Halbebene
Alles hat zwei Seiten oder grundlegende Ideen der Beschaffenheit von Ebenen
Zu unsere Vorstellung von der Eigenschaften einer beliebigen Ebene gehört u.a., dass jede Gerade , die zu unserer jeweiligen Ebene gehört, diese in zwei Hälften bzw. zwei Seiten einteilt. Zur Kennzeichnung der beiden Seiten von bezüglich der Geraden verwenden wir einen Punkt , welcher nicht zu gehören sollte.
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Zu der einen Hälfte von bezüglich gehören alle die Punkte aus , die mit auf derselben Seite von liegen. Alle anderen Punkte aus gehören zur anderen Seite von bezüglich .
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Offene Halbebenen
Die beiden Seiten, in die die Menge der Punkte einer Ebene , die nicht auf einer Geraden dieser Ebene liegen, durch diese Gerade eingeteilt wird, heißen offene Halbebenen von bezüglich der Trägergeraden . Der nicht zu gehörende Referenzpunkt bietet uns eine Möglichkeit zur Bezeichnung der beiden offenen Halbebenen. Die offene Halbebene, zu der alle Punkte gehören, die bezüglich mit auf derselben Seite liegen, wird mit bezeichnet, die andere offene Halbebene von bezüglich und mit .
Obige Ausführungen können als informelle Definition des Begriffs offene Halbebene dienen. Hinsichtlich wirklicher mathematischer Exaktheit der Festlegung, was denn eine offene Halbene sein möge, bedarf es einer genauereren Erklärung, was es denn darunter zu verstehen wäre, dass zwei Punkte und einer Ebene auf ein und derselben bzw. auf zwei verschiedenen Seiten dieser Ebene bezüglich einer Geraden liegen.
Definition IV.1: (offene Halbebene)
- Es sei eine Ebene in der die Gerade liegen möge. Ferner sei ein Punkt der Ebene , der nicht zur Geraden gehört.
Unter den offenen Halbebenen und der Ebene bezüglich der Trägergeraden versteht man die folgenden Punktmengen:
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