Lösung von Zusatzaufgabe 8.4 S

Die Aufgabe

Seien $A, B$ und $Q$ drei paarweise verschiedene Punkte für die gelte $\operatorname{nkoll}(A, B, Q)$. Sei g eine Gerade. Beweisen Sie:
$A, B \in \ gQ^{+} \setminus g \Rightarrow \overline{AB} \cap g = \emptyset$.

Skizze

Voraussetzung, Behauptung

Voraussetzung:

(V1) $A\neq B\neq Q\neq A$

(V2) $\operatorname{nkoll}(A, B, C)$

(V3) Gerade g

(V4) $A, B \in \ gQ^{+} \setminus g$

Behauptung:

$\overline{AB} \cap g = \emptyset$
Beweis folgt..
--Tchu Tcha Tcha 19:22, 15. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Damit sind die Grundlagen für den Beweis korrekt gelegt.

Beweis durch Widerspruch

Annahme

$\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$

Beweis:

Nr.	Beweischritt	Begründung	Bemerkung M.G.
1)	$\operatorname{nkoll}(A, B, C)$	Voraussetzung	korrekt, vielleicht genauer (V2)
2)	Es existiert ein Dreieck $\overline{ABQ}$	(1)	besser: Es existiert das Dreieck $\overline{ABQ}$. Die drei Punkte $A, B, Q$ waren jetzt ja bestimmt. Weil sie nicht kollinear sind, sind sie die Eckpunkte eines Dreiecks. Siehe Definition des Begriffs Dreieck, muss hier aber nicht mehr explizit aufgeführt werden.
3)	$\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$	(Annahme	korrekt

1) $\operatorname{nkoll}(A, B, C)$ (Voraussetzung)
2) Es existiert ein Dreieck $\overline{ABQ}$ (1))
3) $\overline{AB} \cap g \neq \emptyset$ (Annahme)
4) ( $\overline{AQ} \cap g = \emptyset$ und $\overline{BQ} \cap g \neq \emptyset$)

  oder

  ( $\overline{BQ}  \cap g = \emptyset$ und $\overline{AQ}  \cap g \neq \emptyset$)  (3), Axiom von Pasch)

5) Widerspruch zur Voraussetzung:

   $\overline{AQ}  \cap g = \emptyset$ und $\overline{BQ}  \cap g = \emptyset$  (4), Vor: $A, B \in \ gQ^{+} \setminus g$ )

Behauptung folgt ! $\overline{AB} \cap g = \emptyset$
--a.b.701 13:40, 16. Jun. 2012 (CEST)

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ @a.b.701: A)Muss in der Begründung in deinem Schritt 1 neben der Vor. nicht auch noch Def. I/2 stehen? B)Folgt dann im Schritt 2 logisch, dass die Punkte A,B,C ein Dreieck bilden? Oder muss man hier noch einen Zwischenschritt machen. Vielleicht über die Dreiecksungleichung als Begründung? --Luca123 18:37, 17. Jun. 2012

Ich hätte in Schritt 1 auch zusätzlich noch die Def. I/2 dazu geschrieben. Ich denke aber, dass es nicht zwingend notwendig ist, da es sich hier in diesem Fall nur aus der Voraussetzung ergibt. (?)--Sissy66 23:51, 17. Jun. 2012 (CEST)