Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende (SoSe 12)

Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende

Mittelsenkrechte

Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt: eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.

Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)

Es sei $\ m$ eine Gerade und $\overline{AB}$ eine Strecke, die durch $\ m$ im Punkt $\ M$ geschnitten wird. $\ m$ ist die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$, wenn

1. $m \perp AB$
2. $\left| AM \right| = \left| MB \right|$

Satz VI.1: (Existenz und Eindeutigkeit der Mittelsenkrechten)

Jede Strecke hat in jeder Ebene, zu der die Strecke vollständig gehört, genau eine Mittelsenkrechte.

Beweis von Satz VI.1

Die Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke wurde bereits bewiesen (Satz III.1). Die Existenz und Eindeutigkeit der Senkrechten in einem Punkt einer Geraden zu dieser Geraden wird/wurde mit Satz V.5 bewiesen. Somit ist Satz VI.1 ebenfalls bewiesen.

Winkelhalbierende

Ein Winkel ist ein Paar von Halbgeraden, die einen gemeinsamen Anfangspunkt haben. Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Teilwinkel, die jeweils dieselbe Größe haben. Die Teilwinkel werden dadurch gebildet, dass jeder Schenkel des ursprünglichen Winkels jeweils mit der Winkelhalbierenden zu einem neuen Winkel zusammengefasst wird. Es ist also sinnvoll, die Winkelhalbierende eines Winkels als eine besondere Halbgerade zu definieren.

Definition VI.2

Es seien $\ p$,$\ w$ und $\ q$ drei Halbgeraden ein und derselben Ebene mit dem gemeinsamen Anfangspunkt $\ S$. Die Halbgerade $\ w$ ist Winkelhalbierende des Winkels $\angle pq$, wenn $\ w$ im Inneren von $\angle pq$ liegt und die beiden Winkel $\angle pw$ und $\angle wq$ dieselbe Größe haben.

Satz VI.$1 \frac{1}{2}$

Es sei $\ SW^+$ die Winkelhalbierende des Winkels $\angle ASB$. Dann gilt $| \angle ASW | = | \angle WSB | = \frac{1}{2} | \angle ASB |$.

Beweis von Satz VI.$1 \frac{1}{2}$

Übungsaufgabe

Satz VI.2 (Existenz und Eindeutigkeit der Winkelhalbierenden)

Zu jedem Winkel gibt es genau eine Winkelhalbierende.

Beweis von Satz VI.2

Übungsaufgabe