Lösung von Aufg. 10.3 S

Kopernikus / Just noch ein sailA

Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

Vor:
1. $\ MP^{+}$ ist Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$
2. $\overline{AB}$
3. $\ AB \perp \ \ MP^{+}$

Beh:
$\left| AP \right| =\left| PB \right|$

Schritt	Beweis	Begründung
1	$\left| AM \right| =\left| BM \right|$	Vor; Def. Mittelsenkrechte.
2	$\angle AMP \tilde {=} \angle PMB$	Axiom IV.4, Def. V.7
3	$\left| MP \right| =\left| MP \right|$	trivial
4	$\angle AMP \tilde {=} \angle PMB$	Axiom V, SWS
5	$\left| AP \right| =\left| PB \right|$

--Kopernikus 15:21, 28. Jun. 2012 (CEST)
--Just noch ein sailA 15:21, 28. Jun. 2012 (CEST)


Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:
Vor.: $P \in m_AB$
Beh.: $\left| PA \right| = \left| PB \right|$

(1) $\left| AM \right| kongruent \left| MB \right|$ // Vor., Def. Mittelsenkrechte
(2) $\left| MP \right| =\left| MP \right|$ // trivial
(3) $\left| \angle AMP \right| = \left| \angle BMP \right|$ // Vor., Def. Mittelsenkrechte
(4) $\overline{AMP} = \overline{BMP} // (1-3), SWS$
(5) $\left| PA \right| = \left| PB \right|$ // (4), Dreieckskongruenz
qed
--Tchu Tcha Tcha 12:24, 30. Jun. 2012 (CEST)

Lösungsversuch schokomuffin

Vor$P \in m$ : m = Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$

Beh: $\left| PA \right| = \left| PB \right|$

(1) $\exists M \in \overline{AB}  : \left| AM \right| = \left| MB \right|$ // Ex.Eind. Mittelpunkt, Ax II.2

(2) $\overline{PM}$ // Vor

(3) $\overline{AP}$ // Ax. vom Lineal

(4) $\overline{BP}$ // Ax. vom Lineal

(5) $\overline{PM} = \overline{MP}$ // trivial

(6) $\left| \angle BMP \right| = \left| \angle AMP \right|$ // Der. RW, NW, Vor

(7) $\overline{AMP} \tilde {=} \overline{BMP}$ // SWS (1), (5), (6)

(8) $\left| AP \right| = \left| BP \right|$ // Def. Dreieckskongurenz, (7)

--schokomuffin 14:23, 01. Jul. 2012 (CEST)