Der schwache Außenwinkelsatz (SoSe 12)

Das AB der Vorlesung vom 05.07.12

<document>Der_schwache_Außenwinkelsatz.pdf</document>

schwacher Außenwinkelsatz?

In der Vorlesung wurde angedeutet, dass es im Rahmen der absoluten Geometrie nicht möglich ist, den Satz über die Summe der Größen der Innenwinkel eines Dreiecks zu beweisen. Wenn es richtig ist, was in der Vorlesung gesagt wurde, dann dürfte es in der absoluten Geometrie auch nicht möglich sein, den sogenannten starken Außenwinkelsatz zu beweisen. Die folgende Applikation demonstriert den starken Außenwinkelsatz:

Egal, wie wir unser Dreieck $\overline{ABC}$ wählen, es gilt immer $\ | \beta '| = | \alpha | + | \gamma |$.

Allgemeiner formuliert:
Für jedes Dreieck gilt: Die Größe eines jeden Außenwinkels ist immer gleich der Summe der Größen der beiden Innenwinkel des Dreiecks, die zu dem jeweiligen Außenwinkel keine Nebenwinkel sind.

Wie bereits erwähnt, gilt der starke Außenwinkelsatz im Rahmen der absoluten Geometrie nicht. Es gilt jedoch der sogenannte schwache Außenwinkelsatz. Dieser ist selbstverständlich im starken Außenwinkelsatz aufgehoben.

Satz VIII.1: (schwacher Außenwinkelsatz)

Die Größe eines jeden Außenwinkels eines Dreiecks ist jeweils größer als die Größe eines jeden Innenwinkels dieses Dreiecks, der kein Nebenwinkel zu dem gewählten Außenwinkel des Dreiecks ist.

Beweis von Satz VIII.1

Der letztendliche Beweis

Es bleibt zu zeigen: $\ P \in \operatorname{I} \left( \delta \right)$, wobei wir in diesem Fall das offene Innere von $\ \delta$ meinen. Wenn wir das bewiesen haben gilt nämlich nach Satz V.2, dass $\angle MBP$ und somit auch $\alpha$ kleiner ist als $\delta$.
Dass $\ P \in \operatorname{I} \left( \delta \right)$ zeigen wir durch einen Widerspruchsbeweis. Zur Erinnerung: Das Innere eines Winkels ist durch die Schnittmenge zweier Halbebenen definiert. Die folgende Applikation zeigt den Widerspruchsbeweis.
Ziehen Sie an dem Punkt $\ P$ und versuchen Sie, den Beweis nachzuvollziehen.

Der letztendliche Beweis, es geht auch einfacher

Da haben wir nun die Lemmata Lemmata zu Winkeln zu den Geschichten aus dem Inneren von Winkeln in diesem Semester extra aufgeführt und dann benutze ich sie nicht.

Kompliment den Studierenden, die entdeckt ahaben, dass es viel einfacher geht.

Wir sollen also zeigen, dass $P$ im Inneren von $\beta'$ liegt. Was das bedeutet ist klar:

1. $P \in AB,C^-$
2. $P \in BC,A^+$

Teil 1 war einfach, wir haben $P$ ja schließlich so konstruiert.

Für Teil 2 hätten wir gezeigt, wenn wir nachweisen, dass $P$ im Inneren von des Winkels $\angle ACB$ liegt. Das Innere von $\angle ACB$ ist schließlich nichts anderes als die Schnittmenge der beiden Halbebene $AC,B^+$ und $BC.A^+$. Von diesen beiden Halbebenen interessiert uns eigentlich nur $BC.A^+$. Aber gut, wenn $P$ im Inneren von $\angle ACB$ liegen würde, dann würde $P$ natürlich auch in $BC,A^+$ liegen.

Also gut. Wir haben den Punkt $M$ als Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ gewählt. Damit ist er ein Punkt der offenen Strecke $\overline{AB}$. Somit sind die Voraussetzungen von Lemma W/1 erfüllt und der Strahl $CM^+$ liegt im Inneren von $\angle ACB$.

Der Strahl $MC^-$ ist eine Teilmenge des Strahls $CM^+$ (Der Leser überzeuge sich davon.).

Weil $P$ nach Konstruktion zu $MC^-$ gehört und $MC^-$ zu $CM^+$ gehört und $CM^+$ vollständig im Inneren von $\angle ACB$ gehört liegt $P$ zwangsweise auch im Inneren von $\angle ACB$. --*m.g.* 11:36, 5. Jul. 2012 (CEST)

Unmittelbare Folgerungen aus dem schwachen Außenwinkelsatz

Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz

In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Übungsaufgabe

Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Übungsaufgabe