Der Zusammenhang von Seitenlängen und Winkelgrößen im Dreieck (SoSe 12)

Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Beweis von Satz IX.2

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.

Voraussetzung:
$\left| BC \right| > \left| AC \right|$ bzw. $\left| a\right| > \left| b \right|$

Behauptung:
$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

Frage zur Beweisführung:
In der heutigen Geometrie Veranstaltung haben wir den Schritt (3) $B' \in I \left( \alpha \right)$ anhand der Konvexität begründet..
Mich würde interessieren, ob ich es auch anhand vom Lemma 1 begründen kann, da ich mir damit einfacher tue..!??
Lemma 1 besagt doch folgendes:
Gegeben seien drei nicht kollineare Punkte (hier A, B, C / nach Voraussetzung). Wenn B' (nach Konstruktion..$\exists B' \in \ CB^{+}$ ) ein Punkt der offenen Strecke (hier: $\overline{CB}$ / nach Konstruktion) ist, dann liegt der Strahl (hier $\ AB'^{+}$) vollständig im Inneren von $\angle BAC$ .
Also müsste doch bei Schritt (3), Lemma 1 als Begründung korrekt sein..!?
--Tchu Tcha Tcha 12:21, 5. Jul. 2012 (CEST)

Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right|$

Beweis von Satz IX.3

Übungsaufgabe