Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 S (SoSe 12)
Zusatzaufgabe 6.1
Es sei eine Gerade und
ein Punkt, der nicht zu
gehört. Beweisen Sie mittels der Axiome der Inzidenz: Es gibt genau eine Ebene
, die sowohl alle Punkte von
als auch den Punkt
enthält.
Lösungsvorschlag von Quadratisch , Praktisch, Gut
Voraussetzung: Gerade g, Punkt P, P nicht Element von g
Behauptung: Es existiert eine Ebene, die sowohl g als auch P enthält.
Schritt | Warum darf ich den Schritt machen? |
---|---|
(1)Es existiert X,Y.X,Y Element g | I.2 |
(2)nkoll(X,Y,P) | (1), Vor. |
(3)Es existiert eine Ebene.X,Y,P Element der Ebene | (2), I.4 |
Durch Axiom I.4 wären Existenz (Zu drei nicht kollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene...) und Eindeutigkeit (... genau eine Ebene...) bewiesen.
--RitterSport 20:02, 4. Jun. 2012 (CEST)
Bemerkungen M.G.
Der Beweis ist soweit korrekt aber noch nicht ganz vollständig. Das Axiom I/4 sichert uns nur, dass Ihre Punkte in der Ebene
liegen. Wir sollen aber zeigen, dass alle Punkte der Geraden
in
liegen.
Hier noch mal Ihr Beweis mit LaTex Tags. Schritt 4 wäre noch zu ergänzen.(Meine Begründungen fallen etwas ausführlicher aus, weil viele Leser sicherlich die Axiome nicht im Kopf haben.)
Nr. | Schritt | Warum darf ich den Schritt machen? |
---|---|---|
(1) | ![]() |
Axiom I/2: Auf jeder Geraden gibt es zwei verschiedene Punkte. |
(2) | ![]() |
Nach Voraussetzung gehört ![]() ![]() ![]() ![]() |
(3) | ![]() |
Axiom I/4: Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, zu der die drei Punkte gehören. |
(4) | ![]() |
Axiom ... |
Bei Schritt (4) würde ich als Begründung das Axiom I.5 anwenden, welches besagt, dass "wenn 2 Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E".
--Tchu Tcha Tcha 13:47, 9. Jul. 2012 (CEST)