Existenz von Parallelen (SoSe 12)

Satz XI. 1: (Existenz von Parallelen) Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und parallel zu $\ g$ ist. Beweis der Existenz von Parallelen Übungsaufgabe Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha: (1) Nach der Ex. & Eind. des Lots gibt es eine Gerade durch P, welche senkrecht zu g ist. (2) $\left| l \right| = \left| \overline{SP} \right|$ // Vor., (1), Abstandsaxiom (3) Es gibt einen weiteren Punkt $G' \in g$mit$G' \neq S$ // Vor., Axiom I.2 (4) Es gibt genau einen Strahl $\ G'Q^{+}$ in der HE $\ G'S,P^{+}$ mit $\left| \angle SG'Q \right| = 90$ // Vor., (3), Winkelkonstruktionsaxiom (5) Es gibt genau einen Punkt $P_2$ auf $\ G'Q^{+}$ mit $\left| SP \right| = \left| G'_2P_2 \right|$ // Axiom v. Lineal, (4),(2) (6) $\exists h: P, P_2 \in h$ // Vor., (5), Axiom I.1 (7) qed?!? (oder muss noch bewiesen werden, dass alle Punkte der Geraden h denselben Abstand zur Geraden g haben?!? eigentlich trivial, oder? :-) ) --Tchu Tcha Tcha 15:20, 10. Jul. 2012 (CEST) Die Eindeutigkeit ("Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es höchstens eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und parallel zu $\ g$ ist.") kann in der absoluten Geometrie nicht bewiesen werden. Wir müssen die Eindeutigkeit der Parallelen axiomatisch fordern. Das entsprechende Axiom heißt Euklidisches Parallelenaxiom (EP). Sobald das EP gilt, befinden wir uns nichtmehr in der absoluten Geometrie, sondern in der euklidischen.