Lösung von Aufgabe 6.4
Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.
Inhaltsverzeichnis |
Eins
Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E
Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.
Beweisschritt | Begründung |
(1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B B nicht identisch C |
1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7 |
=> A, B, C sind paarweise verschieden
Kommt uns ein wenig zu kurz vor. von Maude001 und Nicola
Zwo
Behauptung:
Wenn eine Ebene existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.
Vorraussetzung:
Es existiert eine Ebene mit A, B, C
Annahme:
A, B, C sind paarweise verschieden.
Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.
Fall 1:
koll(A, B, C) <-> A, B, C Gerade g Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C und (nach Fallunterscheidung) A, B, C g. Dann greift Axiom I/5
Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.
...hier sind es sogar alle drei Punkte.
Fall 2:
Je zwei Punkte sind kollinear.
o.B.d.A koll(A, B) -> A, B Gerade g C Gerade g
nkoll(A, B, C)
Nun besagt Axiom I/4
Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.
Reicht das als Begründung für Satz I.7 ?
Zusatz:
Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)
Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.
Drei
Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:
- Voraussetzung: ist eine Ebene.
- Behauptung: enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.
- Das könnte man natürlich aufgliedern in: enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen.
- Das könnte man natürlich aufgliedern in: enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen.
Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind.
Ich stelle mir also eine Ebene vor, die den Punkt enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, wäre einer davon und die anderen beiden hießen und . Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.
- 1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist . Problem geklärt, enthält drei Punkte. Prima.
- 2.Fall: Die gesuchte Ebene ist , wobei gilt , also . Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für herkommen.
Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen.
--Sternchen 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)