Benutzer:Sternchen

Formatierungshilfen und -erinnerungen

Hilfe zu LaTeX

Schritt	Begründung
1)	Voraussetzung
2)	(1)
3)
4)
5)
6)

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	Element	Voraussetzung
(II)	Element	Element
(III)	Element	Element
(IV)	Element	Element
(V)	Element	Element

Kleine Zusammenfassungen

Klasseneinteilung

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$.

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$, wenn gilt:

1. notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist die leere Menge.
2. notwendige Bedingung 2: Je zwei Teilmengen sind disjunkt.
3. notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen ergibt wieder die Menge $M$.

Mengen sind disjunkt, wenn die Schnittmenge dieser Mengen die leere Menge ist, bzw. die Mengen keine gemeinsamen Objekte besitzen.

Relationen

Definition: (n-stellige Relation)

Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$stellige Relation.

Definition: (Äquivalenzrelation)

Eine Relation $\ R$ in einer Menge $\ M$ heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

Versuch einer Auflistung

Axiome

AXIOM I/0

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält.

AXIOM I/2

Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören.

AXIOM I/3

Es gibt wenigstens 3 Punkte, die nicht kollinear sind.

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Axiom II.1: (Abstandsaxiom)

Zu je zwei Punkten $\ A$ und $\ B$ gibt es eine eindeutig bestimmte nicht negative reelle Zahl $\ d$ mit $d=0:\Longleftrightarrow A=B$.

Axiom II.2:

Für zwei beliebige Punkte $\ A$ und $\ B$ gilt $\left| AB \right| = \left| BA \right|$.

Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)

Für drei beliebige Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt: $\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.$

Axiom III.1: (Axiom vom Lineal)

Zu jeder nicht negativen reelen Zahl $\ d$ gibt es auf jedem Strahl $\ p$ genau einen Punkt, der zum Anfangspunkt von $\ p$ den Abstand $\ d$ hat.

Definitionen

Definition I/2: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebene E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Definition II.1: (Abstand)

Der Abstand zweier Punkte $\ A$ und $\ B$ ist die Zahl, die nach dem Abstandsaxiom den Punkten $\ A$ und $\ B$ zugeordnet werden kann.
Schreibweise: $d = \left| AB \right|$.

Definition II.1: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $\ B$ liegt zwischen zwei Punkten $\ A$ und $\ C$, wenn $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ gilt und der Punkt $\ B$ sowohl von $\ A$ als auch von $\ C$ verschieden ist.

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Definition II.3: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Lösung_von_Aufgabe_6.5

Lösung_von_Aufgabe_6.6

Definition III.1: (Mittelpunkt einer Strecke)

Wenn ein Punkt $\ M$ der Strecke $\overline{AB}$ zu den Endpunkten $\ A$ und $\ B$ jeweils den selben Abstand hat, dann ist er der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$.

Sätze

Satz I.1

Es seien g und h zwei Geraden. Wenn g und h nicht identisch sind, haben sie höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.2: (Kontraposition von Satz I.1)

Es seien g und h zwei Geraden.

Wenn g und h mehr als einen Punkt gemeinsam haben, so sind g und h identisch.

Satz I.3: (Existenz von drei Geraden)

Es existieren mindestens drei paarweise verschiedene Geraden.

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Satz II.1

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{Zw} \left( C, B, A \right)$.

Satz II.2:

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$.

Satz II.3

Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$.

Satz II.4

Es sei $\ O$ ein Punkt einer Geraden $\ g$.
Die Teilmengen $\ OA^+ \setminus \left\{ O \right\}$, $\left\{ O \right\}$ und $\ OA^- \setminus \left\{ O \right\}$ bilden eine Klasseneinteilung der Geraden $\ g$.

Satz III.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Mittelpunkte einer Strecke)

Jede Strecke hat genau einen Mittelpunkt.