Lösung von Zusatzaufgabe 10.1 S

Versuch Lerngruppe Nummero6/Tchu Tcha Tcha:
a) Wenn in einem Dreieck zwei Seiten kongruent sind, dann sind die Basiswinkel kongruent.
Wenn in einem Dreieck zwei Innenwinkel kongruent sind, dann sind zwei Seiten kongruent.

b) BEWEIS BASISWINKELSATZ

Vor. $a \tilde {=} b$
Beh.: $\alpha \tilde {=} \beta$

(1) $a \tilde {=} b$ // Vor.
(2) es existiert w (die WH von $\gamma$) // Ex. & Eind. der WH
(3)

// Vor., (1), Lemma 1

(4)

// (2),(3), Def. WH

(5) $\overline{CS} \tilde {=} \overline{CS}$ // trivial, Vor., (3)
(6) $\overline{ACS} = \overline{ACS}$ // (1),(4),(5), SWS
(7) $\angle SAC \tilde {=} \angle SBC$ // (6), Dreieckskongruenz
(8) Beh. stimmt // (7)
qed

d) BEWEIS UMKEHRUNG BASISWINKELSATZ

Vor.: $\alpha \tilde {=} \beta$
Beh.: $a \tilde {=} b$

(1) $\alpha \tilde {=} \beta$ // Vor.
(2) es existiert w (die WH von $\gamma$) // Ex. & Eind. der WH
(3)

// Vor., (1), Lemma 1

(4)

// (2),(3), Def. WH

(5) $\angle ASC \tilde {=} \angle BSC$ // nach Vor., (4) und Innenwinkelsumme im Dreieck
(6) $\overline{CS} \tilde {=} \overline{CS}$ // trivial, (3)
(7) $\overline{ASC} \tilde {=} \overline{BSC}$ // (4),(5),(6),WSW
(8) $a \tilde {=} b$ // (7), Dreieckskongruenz
(9) Beh. stimmt // (8)
qed
--Tchu Tcha Tcha 13:53, 30. Jun. 2012 (CEST)

Meine Lösung:
<document>RitterSport_IMG.pdf</document>
@Tchu Tcha Tcha: aha, SWS. Das ist auch ne Idee;)
--RitterSport 12:06, 10. Jul. 2012 (CEST)

Anmerkungen Buchner zu den Beweisen "Umkehrung Basiswinkelsatz" von Tchu Tcha Tcha und RitterSport

Zum Beweis von Tchu Tcha Tcha:
Sieht zwar gut aus, es gibt aber ein Probelm: Wir haben den Satz zur Innenwinkelsumme im Dreieck noch nicht. Somit kriegen Sie den Beweis so nicht hin, weil Schritt 5 können Sie anders nicht begründen.

Zum Beweis von RitterSport:
Sieht zwar auch gut aus, aber was machen Sie, wenn $\left| CM \right| < \left| AM \right| bzw. \left| BM \right|$? Das kann ja durchaus passieren, und dann können Sie den Satz SsW nimmer anwenden...

Ich gebe Ihnen mal eine Idee mit auf den Weg: Man könnte ja die Mittelsenkrechte m von$\overline{AB}$ konstruieren. Wenn Sie jetzt zeigen, dass $C \in m$ haben Sie mithilfe des Mittelsenkrechtenkriteriums die Behauptung bewiesen.
Also konkret:
Zeigen Sie, dass $C \in m$ (mit Widerspruchsbeweis). --Buchner 16:48, 11. Jul. 2012 (CEST)

d) Lösungsversuch 2:
BEWEIS UMKEHRUNG BASISWINKELSATZ

Vor.: $\alpha \tilde {=} \beta$
Beh.: $a \tilde {=} b$
Annahme: a NICHT kongruent b

1.Fall: $C \not\in m_c$ (A1)

Da nach dem Mittelsenkrechtenkriterium für alle Punkte P der Mittelsenkrechten $m_c$ gilt:
$\left| PA \right| = \left| PB \right|$
, muss unsere Annahme stimmen, wenn $C \not\in m_c$ (A1).
Behauptung ist zu verwerfen.

2.Fall: $C \in m_c$ (A2)

(1) Es existiert $m_c$ (die Mittelsenkrechte von $\overline{AB}$ ) // Def. Mittelsenkrechte
(2) Wenn (A2) gilt, dann gilt nach dem Mittelsenkrechtenkriterium:$\left| CA \right| = \left| CB \right|$ // (A2), Mittelsenkrechtenkriterium
(3) $a \tilde {=} b$ // (2)
(4) Behauptung stimmt // (3)
qed.
Wäre dieser Beweis korrekt? --Tchu Tcha Tcha 21:15, 11. Jul. 2012 (CEST)