Lösung von Aufg. 12.1 S

Aufgabe 12.1

Man beweise: Ein Punkt $\ P$ gehört genau dann zur Winkelhalbierenden des Winkels $\ \alpha$, wenn er zu den Schenkeln von $\ \alpha$ jeweils denselben Abstand hat.

Lösungsversuch Lerngruppe Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

d.h.
1)$P\in w_\alpha \Rightarrow \left| \ P,SA^{+} \right| \tilde {=} \left| \ P,SB^{+} \right|$
2)$\left| \ P,SA^{+} \right| \tilde {=} \left| \ P,SB^{+} \right| \Rightarrow P\in w_\alpha$
Skizze folgt..
zu 1)
(1)$\left| \angle BSP \right| = \left| \gamma \right| \tilde {=} \left| \angle PSA \right| = \left| \beta \right|$ // Vor.
(2)$\overline{SP} \tilde {=} \overline{SP}$ // trivial
(3)

// Ex. & Eind. der Senkrechten durch P zu SA

(4) $\overline{L_A P}$ ist Lot // (3), Def. Lot
(5)$\left| \overline{S L_A} \right| = \left| d \right|$ // Axiom II/1 (Abstandsaxiom)
(6)$\exists L_B:L_B \in \ SB^{+} \wedge \left| \overline{S L_B} \right| = \left| d \right|$ // Axiom v. Lineal, (5)
(7)$\overline{PS L_B} \tilde {=} \overline{PS L_A}$ // (1),(2),(5),(6), SWS
(8)$da \left| \angle SL_AP \right| = 90 muss auch \left| \angle SL_BP \right| = 90$ // (3),(7), Dreieckskongruenz
(9)$\overline{P L_A} \tilde {=} \overline{P L_B}$ // (7), Dreieckskongruenz
qed
zu 2)
(1) $\overline{SP} \tilde {=} \overline{SP}$ // trivial
(2)$\left| \ P,SA^{+} \right| \tilde {=} \left| \ P,SB^{+} \right|$ // Voraussetzung
(3)$\left| \angle SL_BP \right| = 90 = \left| \angle SL_AP \right|$ // Def. Lotgerade
(4) $\overline{SPL_B} \tilde {=} \overline{SPL_A}$ // (1-3), SsW
(5) $\alpha \tilde {=} \beta$ // (4), Dreieckskongruenz
qed
--Tchu Tcha Tcha 14:23, 13. Jul. 2012 (CEST)