Lösung von Aufgabe 6.4

Beweisen Sie: Jede Ebene enthält wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte.

Eins

Behauptung: Wenn eine Ebene E existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C. Vorraussetzung: Es existiert eine Ebene E mit A, B, C Element E Annahme: A, B, C sind paarweise verschieden.

Beweisschritt	Begründung
(1) komp (A,B,C) (2) A nicht identisch B B nicht identisch C C nicht identlich A	1)nach Definition I/6 2)nach Satz I/7

=> A, B, C sind paarweise verschieden

Kommt uns ein wenig zu kurz vor. von Maude001 und Nicola

Diskussion:Lösung_von_Aufgabe_6.4 wollte den Diskussionsfluss nicht unterbrechen und hab meine Bemerkungen in die Diskussion geschoben --*m.g.* 14:07, 9. Jun. 2010 (UTC)

Zwo

Behauptung:

Wenn eine Ebene $\Epsilon$ existiert, dann enthält sie wenigstens drei paarweise verschiedene Punkte A, B, C.

Vorraussetzung:

Es existiert eine Ebene $\Epsilon$ mit A, B, C $\in$ $\Epsilon$

Annahme:

A, B, C sind paarweise verschieden.

Diesen Satz I.7 ("Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.") muss man bestimmt mit einer Fallunterscheidung beginnen.

Fall 1:

koll(A, B, C) <-> A, B, C $\in$ Gerade g Dadurch ergibt sich ja (nach Vorraussetzung), dass A, B, C $\in$ $\Epsilon$ und (nach Fallunterscheidung) A, B, C $\in$ g. Dann greift Axiom I/5

       Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E. 

...hier sind es sogar alle drei Punkte.

Fall 2:

Je zwei Punkte sind kollinear.
o.B.d.A koll(A, B) -> A, B $\in$ Gerade g $\land$ C $\ni$ Gerade g
nkoll(A, B, C)
Nun besagt Axiom I/4

       Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält.

Reicht das als Begründung für Satz I.7 ?

Zusatz: Deswegen brauchen wir den Fall 3 nicht, wonach alle drei Punkte nichtkollinear sind. Geht nicht!
AXIOM I/1(Axiom von der Geraden)

       Zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. 

--Heinzvaneugen

Drei

Ich habe ein Problem mit eurer Voraussetzung. Dass die Ebene drei Punkte enthält, soll man ja beweisen. Ich würde es eher so formulieren:

Voraussetzung: $\ \Epsilon$ ist eine Ebene.

Behauptung: $\ \Epsilon$ enthält wenigstens drei verschiedene Punkte.

Das könnte man natürlich aufgliedern in: $\ \Epsilon$ enthält wenigstens drei Punkte. Und in: Diese drei Punkte sind paarweise verschieden. Damit habt ihr schon recht. Aber in eurer Argumentation kommt nicht vor, dass es ja auch Ebenen geben könnte, die nur einen oder zwei Punkte enthalten. Und genau das soll man ja widerlegen.

Übrigens ergibt sich direkt aus Axiom I/4, dass es keine Ebene gibt, die keinen Punkt enthält. Da heißt es ja: "Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt." Aber wo kommen die anderen Punkte her? In Axiom I/4 heißt es ja, dass es zu drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese enthält, aber da steht nicht, dass es auch umgekehrt zu jeder Ebene drei Punkte gibt, die darin enthalten sind.
Ich stelle mir also eine Ebene $\ \Epsilon_1$ vor, die den Punkt $\ A$ enthält. Einen Punkt muss sie ja schließlich nach Axiom I/4 enthalten. Dann weiß ich nach Axiom I/3, dass es wenigstens drei nichtkollineare Punkte gibt. Gehen wir davon aus, $\ A$ wäre einer davon und die anderen beiden hießen $\ B$ und $\ C$. Jetzt gibt es aber meines Erachtens zwei Möglichkeiten, wie Axiom I/4 erfüllt werden kann.

1.Fall: Die gesuchte Ebene, die zu diesen drei Punkten gehört ist $\ \Epsilon_1$. Problem geklärt, $\ \Epsilon_1$ enthält drei Punkte. Prima.

2.Fall: Die gesuchte Ebene ist $\ \Epsilon_2$, wobei gilt $\ B,C \not\in \Epsilon_1$, also $\ \Epsilon_2 \not\equiv \Epsilon_1$. Womit immer noch das Problem besteht, wo die anderen Punkte für $\ \Epsilon_1$ herkommen.

Es geht bestimmt irgendwie, aber ich bin noch nicht draufgekommen.
--Sternchen 12:32, 5. Jun. 2010 (UTC)

Vier

zz: Jede Ebene enthält wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte.

Beweisidee:

Ausgangspunkt ist Axiom I/7 : Es gibt 4 Punkte, die nicht in ein und derselben Ebene liegen. Seien dies die Punkte A,B,C und D. Ferner sei E1 eine Ebene.

Es gilt 3 Fälle zu unterscheiden:

Fall 1: A,B gehört zu E1 und C,D gehört nicht zu E1

Fall 2: A gehört zu E1 und B,C,D gehören nicht zu E1

Fall 3: keine der 4 Punkte A,B,C,D gehören zu E1

BEWEIS:

Fall 1:

1) nkomp(A,B,C,D) -> nkoll(A,B,C) (Satz und Axiom I/7)

2) Es existiert zu A,B,C eine Ebene F, sodass A,B und C in F liegen (Axiom I/4)

3) Nun gilt, dass A sowohl in E1 als auch in F enthalten ist (Voraussetzung und 2))

4) Es existiert ein Punkt S mit: S ist sowohl in E1 als auch in F enhalten (Axiom I/6 und 3))

5) A, B und S sind in E1 enthalten ( 4)und Voraussetzung, dass A und B in E1 liegt)

Fall 2 funktioniert analog: Es existieren zu den Punktemengen {A,B,C}, {A,B,D} jeweils eine Ebene. Seien diese E2 und E3. Jede dieser Ebenen haben den Punkt A mit E1 gemeinsam. Laut Axiom I/6 gibt es dann zwei weitere Punkte P1 und P2, die sowohl in diesen Ebenen als auch in E1 enthalten sind. Folglich enthält E1 die Punkte A, P1 und P2.

In den beiden bisherigen Fällen hat E1 also mindestens 3 Punkte.

Fall 3 konnte ich leider nicht lösen.

Ich würde sagen es gibt 4 Fälle zu unterscheiden, denn A,B und C könnten auch auf der Ebene E1 liegen.. --Principella 19:24, 10. Jun. 2010 (UTC)

Fünf

Vor: Ebene E

Beh: Ebene enthält drei Punkte A,B und C, die paarweise verschieden sind

(1) Es gibt einen Punkt A auf der Ebene E (Axiom I/4)

(2) Die Ebenen E und E haben den Punkt A gemeinsam (Trivial)

(3) E und E haben einen weiteren Punkt B gemeinsam (Axiom I/6)

(4) => A und B gehören zu E

(5) Es gibt eine Gerade g, die durch die Punkte A und B geht (Aciom I/1)

(6) Es gibt einen Punkt C, der auf dem Strahl AB⁺ liegt und für den gilt: |AC| = d und P ungelich A,B(Axiom III/1)

(7) C ist Element von E (Axiom I/5)

(8) => A, B und C sind Element von E und paarweise verschieden ((8))

q.e.d.

was haltet ihr davon?

--TheGeosi 14:32, 10. Jun. 2010 (UTC)

Ich find's klasse. Vor allem, wie du auf den Punkt B gekommen bist. Das ist bestechend einfach.

Das was danach kommt, find ich auch logisch. Nur hab ich gedacht: Ein bisschen abgewandelt wäre das vielleicht schon der Beweis, dass eine Ebene unendlich viele (oder überabzählbar viele? Ich hab keine Ahnung.) Punkte enthält. Du hast es ja mit Axiom III/1 begründet und der Satz heißt Satz I/7. Das legt die Vermutung nahe, dass man es mit den Axiomen I/0 bis I/7 beweisen kann. Ob das so ist - keine Ahnung. Aber ich finde deine Argumentation einwandfrei.

--Sternchen 16:03, 10. Jun. 2010 (UTC)