Lösung von Aufgabe 4.3 S (WS 12 13)

Aufgabe 4.3

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien $A$, $B$ und $C$ drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn $A$,$B$ und $C$ … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösung von Caro44

1. Implikation Satz I in "Wenn-Dann"
Es seien A, B und C drei Punkte.
Wenn A, B und C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.

2. Widerspruchsbeweis von Satz I

• korrekt --*m.g.* 15:10, 24. Nov. 2012 (CET)
  

3. Kontraposition von Satz I
Es seien A, B und C drei Punkte.
Wenn A, B und C nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinear.

4. Beweis der Kontraposition von Satz I

5. Umkehrung von Satz I
Es seien A, B und C drei Punkte.
Wenn A, B und C paarweise verschieden sind, dann sind sie nicht kollinear.

6. Gilt auch die Umkehrung als Satz I?
Nein, die Umkehrung gilt nicht.

Bsp.:
--Caro44 16:19, 18. Nov. 2012 (CET)

Lösung von Yellow

1. wenn A,B,C drei nicht kollinare Punkte sind, dann sind sie paarweise verschieden
2.
3. wenn A,B,C nicht paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinar
4.
5. wenn A,B,C paarweise verschieden sind, dann sind sie kollinar
Die Umkehrung entspricht dem Axiom I.3 und kann somit nicht bewiesen werden.

--Yellow 16:25, 18. Nov. 2012 (CET)

Kommentar m.g. zu 5.

Axiom I.3:

Es gibt wenigstens 3 paarweise verschiedene Punkte, die nicht kollinear sind.

Ihre Umkehrung von Satz I:

Wenn drei Punkte paarweise verschieden sind, so sind sie kollinear.

Ist das die korrekte Umkehrung von Satz I?

Sind I.3 und die Umkehrung von Satz I wirklich äquivalent?--*m.g.* 15:17, 24. Nov. 2012 (CET)