Serie 7 (WS 12 13)

Ohne Axiom vom Lineal Aufgabe 7.1 Bauen Sie die folgende Applikation nach: Hilfen Sie können die Abstände zwischen zwei Punkten bestimmen lassen. Geben Sie etwa in die Eingabezeile ein: AB=Abstand[A,B]. Sie finden den Wert der Variablen AB dann in der Algebraansicht. Sie können Objekte in Abhängigkeit gewisser Werte anzeigen bzw. verstecken lassen. Beispiel: Strecke $\overline{AB}$. Die Strecke wird zunächst ganz normal generiert. Dann Rechtsklick auf das Objekt: Eigenschaften, Erweitert, Bedingung um Objekt anzuzeigen. Sie haben bereits AB, PB und PA berechnen lassen. Für das Anzeigen der Strecke AB geben Sie jetzt ein: PA+PB==AB. (Die beiden Gleichheitszeichen sind kein Tippfehler) Das logische oder wird mittels || generiert. Aufgabe 7.2 Definieren Sie: Kugel mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r \in \mathbb{R}$, Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r \in \mathbb{R}$, Sehnen, Durchmesser und Radien eines Kreises $k$ (Durchmesser und Radius sind als geometrische Objekte und nicht als Zahlen zu verstehen), Passante, Sekante, Tangente bzgl. eines Kreises $k$, Tangentialebene einer Kugel $k$, Großkreis auf einer Kugel $k$. Bemerkung Der Äquator und alle Längenkreise der Erdkugel sind Beispiele für Großkreise. Mit Axiom vom Lineal Für die folgenden Aufgaben arbeiten Sie bitte Streckenmittelpunkte und das Axiom vom Lineal WS 12 13 durch. Aufgabe 7.3 Welcher geometrische Begriff, den Sie aus der Schule kennen, wird im Folgenden beschrieben? Ebene Geometrie sei vorausgesetzt. Es seien $A$ und $B$ zwei Punkte. Ferner sei $\mathbb{K}_A$ die Menge aller Kreise mit dem Mittelpunkt $A$. Analog wollen wir unter $\mathbb{K}_B$ die Menge aller Kreise mit dem Mittelpunkt $B$ verstehen. Auf der Menge $\mathbb{K}$ aller Kreise der Ebene sei die Funktion $D: \mathbb{K} \rightarrow \mathbb{R}$ definiert, die jeden Kreis auf die Länge seiner Durchmesser abbildet. $M:=\left\{P|\exist k_A \in \mathbb{K}_A \wedge \exist k_B \in \mathbb{K}_B: D\left(k_A\right)=D\left(k_B\right) \wedge P \in k_A \cap k_B \right\}$ Aufgabe 7.4 Was ist in der folgenden Definition alles nicht korrekt? Definition Mittelpunkt einer Strecke Unter dem Mittelpunkt versteht man einen Punkt, wo halbiert. Aufgabe 7.5 Beweisen Sie, dass jede Strecke einen Mittelpunkt hat. Aufgabe 7.6 Beweisen Sie die Eindeutigkeit des Mittelpunktes einer Strecke. Aufgabe 7.7 Es sei $\overline{AB}$ eine Strecke. $\overline{AM_n}, n \in \mathbb{N}$ ist eine Folge von Strecken mit $M_{n+1}$ ist der Mittelpunkt von $\overline{AM_n}$. Beweisen Sie: Für jedes $\varepsilon \in \mathbb{R}^+$ gilt: Fast alle Folgeglieder von $\overline{AM_n}$ sind Teilmengen von $\overline{AC}$ mit $|AC|=\varepsilon \wedge C \in AB^+$. Bemerkung Unter fast allen versteht der Mathematiker alle bis auf endlich viele.