Gruppen, abelsche Gruppen 2012 12
Beispiele für endliche Gruppen
Restklassen modulo 4
mit
(Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),
Wir definieren auf eine Verknüpfung
wie folgt:
Die Struktur ist eine Gruppe:
- Die Verknüpfung
ist auf der Menge
abgeschlossen, d.h.
,
- Die Verknüpfung
ist auf der Menge
assoziativ, d.h.
,
hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse
, d.h.
,
- Zu jedem Element aus
gibt es ein inverses Element, d.h.
.
Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:
Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.
Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe :
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung auf
kommutativ ist:
.
Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.