Beispiele für endliche Gruppen
Restklassen modulo 4
![\mathbb{Z}_4:=\left\{ \overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3} \right\}](/images/math/3/a/e/3aeeb3505eb98fa86b70341d6244cffb.png)
mit
(Menge aller durch 4 teilbaren ganzen Zahlen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 1 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 2 lassen),
(Menge aller ganzen Zahlen, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen),
Wir definieren auf eine Verknüpfung wie folgt:
Die Struktur ist eine Gruppe:
- Die Verknüpfung
ist auf der Menge abgeschlossen, d.h. ,
- Die Verknüpfung
ist auf der Menge assoziativ, d.h. ,
hat ein neutrales Element, nämlich die Klasse , d.h. ,
- Zu jedem Element aus
gibt es ein inverses Element, d.h. .
Die folgende Verknüpfungstafel verdeutlicht die obigen Eigenschaften:
Die Tabelle wurde mit der Tabellenkalkulation von Geogebra generiert. Aus diesem Grunde fehlen die Querstriche über den Klassen.
Die Verknüpfungstabelle zeigt eine weitere Eigenschaft der Gruppe :
Die Ergebnisse in der Tabelle sind symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen angeordnet. Letzteres bedeutet, dass die Verknüpfung auf kommutativ ist:
.
Kommutative Gruppen werden auch Abelsche Gruppen genannt.
Gruppe der Deckabbildungen des Rechtecks
![Decvkabbildungen Rechteck.png](/images/thumb/e/e0/Decvkabbildungen_Rechteck.png/400px-Decvkabbildungen_Rechteck.png)
Unter wollen wir die Menge aller Bewegungen verstehen, die das Rechteck auf sich selbst abbilden.
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