Lösung von Aufgabe 7.5

Beweisen Sie: Der Durchschnitt zweier konvexer Punktmengen ist konvex.

Voraussetzung: M1 = konvexe Punktmenge und M2 = konvexe Punktmenge Behauptung: M1 geschnitten M2 = konvexe Punktmenge

Beweis:

Seien A und B zwei verschiedene Punkte, die so gewählt sind, dass gilt:

A ist Element von M1 und M2, B ist Element von M1 und M2 dh beide Punkte liegen in der Schittmenge.

1)Da M1 konvex, gilt, dass die Strecke AB Element von M1 ist.
2)Da M2 konvex, gilt gleichzeitig, dass die Strecke AB Element von M2 ist.
3)Weil 1) und 2) gelten, liegt die Strecke AB sowohl in M1 als auch in M2 und damit in der Schnittmenge.
Da A und B zwei beliebige Punkte der Schnittmenge waren, gilt die Behauptung.

Wieso

können wir annehmen, dass sowohl A als auch B Elemente beider Mengen sind? Mir ist der Satz IV.3 alles andere als klar. Natürlich müssen beide Mengen mindestens zwei Punkte haben, denn sie sind ja konvex. Aber wieso könnten das nicht bei M1 die Punkte A und B und bei Menge 2 die Punkte A und C sein. Damit wäre doch die Schnittmenge nicht konvex????? --Maude001 12:38, 15. Jun. 2010 (UTC)