Lösung von Aufgabe 6.9

Vorlage

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.

Lösung --Schnirch 13:50, 16. Jun. 2010 (UTC)

Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten.

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen: koll($\ A, B$ und $\ C$)

Behauptung

es gilt genau eine der drei möglichen Zwischenrelationen: $\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	es gilt eine der drei Gleichungen: $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$ $\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$	(I), Axiom II/3
(III)	$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$	(II), Def (Zwischenrelation)
(IV)	zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen Annahme: es gilt o.B.d.A. $\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ und $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$
(V)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$	(IV), (Axiom II/3)
(VI)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|$	rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VII)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right|$	(VI gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(VIII)	$\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right|$	(VII), + $\left| BC \right|$
(IX)	$\ 2 \left| BC \right| = 0$	(VIII), - $\left| AB \right|$
(X)	Widerspruch, da die beiden Punkte B und C identisch sein müssten, nach Voraussetzung aber drei verschiedene Punkte A, B und C gegeben sind. --> Annahme zu verwerfen, Behauptung stimmt.

vorausgegangene Diskussion

Versuch I

Satz:

Von drei paarweise verschiedenen Punkten $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Geraden $\ g$ liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweisen Sie diesen Satz.
Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ kollinear sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen Punkten (und umgekehrt???) .

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen: koll($\ A, B$ und $\ C$)

Behauptung

$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	Für drei beliebige Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt: $\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.$	Axiom II/3: (Dreiecksungleichung)
(III)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$ $\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$	Axiom II/3.1 Axiom II/3.2 Axiom II/3.3
(IV)
(V)

...und jetzt? --Heinzvaneugen

Ich glaube, es ist noch zu zeigen, dass genau einer zwischen den beiden anderen liegt. Habe deinen Beweis ab Schritt IV weitergeführt:

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(IV)	$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{B, A, C \right \}$	Def (Zwischenrelation)
(V)	zu zeigen: es liegt genau einer zwischen den beiden anderen Annahme: es gilt $\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ und $\operatorname{zw}\left \{A, C, B \right \}$
(VI)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$	(Axiom II/3)
(VII)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ $\left| AB \right| - \left| CB \right| = \left| AC \right|$	rechnen mit reellen Zahlen, (Axiom II/2)
(VIII)	$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AB \right|- \left| BC \right|$	(VII gleichgesetzt), rechnen mit reellen Zahlen
(IX)	$\left| AB \right| + 2 \left| BC \right| = \left| AB \right|$	(VIII), + $\left| BC \right|$
(X)	$\ 2 \left| BC \right| = 0$	(IX), - $\left| AB \right|$
(XI)	Widerspruch, da das zweifache eines Abstands nicht null ergeben kann. --> Annahme zu verwerfen, Behauptung wahr.

--Löwenzahn 17:58, 4. Jun. 2010 (UTC)

= Versuch II ====

Satz in wenn-dann:

Wenn drei Punkte $\ A, B$ und $\ C$ ein und derselben Gerade g paarweise verschieden sind, dann liegt genau einer zwischen den beiden anderen.

Beweis

Es seien also $\ A, B$ und $\ C$ drei Punkte.
Voraussetzungen:

$\ A, B$ und $\ C$ sind Punkte ein und derselben Geraden und paarweise verschieden.

Behauptung

$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}$ oder $\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}$

Beweis

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\operatorname{koll} \left \{ A, B, C \right \}$	Voraussetzung
(II)	$\ A, B$ und $\ C$ paarweise verschieden	Voraussetzung
(III)	(1.) $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ (2.) $\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$ (3.) $\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$	I., Axiom II/3
(IV)	(1.)$\operatorname{zw}\left \{A, B, C \right \}$ (2.) $\operatorname{zw}\left \{ A, C, B \right \}$ (3.) $\operatorname{zw}\left \{ B, A, C \right \}$	III./(1.), III./(2.), III./(3.), Definition (Zwischenrelation)
(V)	Behauptung ist wahr

--Maude001 12:39, 5. Jun. 2010 (UTC)