Lösungen zu den Aufgaben 2

2.2

Man betrachte den Steigungswinkel $\alpha$ am Steigungsdreieck. Mit der Steigung und dem $tan\alpha$ berechnen Sie den Winkel.
a) $3x-y=9 \Leftrightarrow y=3x-9$.
$\tan\alpha=3 \Rightarrow \alpha = 71,57^\circ$

b) $y + \frac{1}{2}=\frac{1}{2}(x-2)$
$\Rightarrow y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$
$\tan\alpha=\frac{1}{2} \Rightarrow \alpha = 26,57^\circ$

c) $P(3|1)$ und $Q(-1|\frac{1}{2})$ $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-\frac{1}{2}}{-4}=\frac{1}{8}$
$\tan\alpha=\frac{1}{8} \Rightarrow \alpha = 7,125^\circ$

2.3

Der Beweis erfolgt durch Einsetzen der Punkte in die Gleichung und Umstellen ;-).

2.4

$ax+by+cz=d$ bezeichnet eine Ebene im $\mathbb{R}^3$.
Es seien zwei Ebenen gegeben.
$e_1: a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1$
$e_2: a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2$
Die Lösungsmenge, die auf beide Ebenen passt entspricht der Schnittgerade. Damit kann also eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ mit zwei Gleichungen dargestellt werden. Allerdings sind diese Gleichungen nicht eindeutig.
Zur Bestimmung des Linearen Gleichungssystems, dass die Gerade durch die Punkte P, Q bestimmt, werden die beide Punkte je in die Gleichung $e_1$ und $e_2$ eingesetzt.

$5b_1 -2c_1=d_1$
$14a_1+3b_1 y+2c_1=d_1$

$5b_2 -2c_2=d_2$
$14a_2+3b_2 y+2c_2=d_2$

Lösung der LGS

Gauß ergibt:
$7a_1+4b_1=d_1$ und $7a_2+4b_2=d_2$
Jeweils zwei Werte können frei gewählt werden, allerdings ist dabei zu achten, dass keine Vielfachen der Gleichungen entstehen. Damit lassen sich die Punkte durch folgedens LGS beschreiben:
$2y+z=8$
$x+7y=35$