Winkelmessung

Winkelmessung

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Das Winkelmaßaxiom

Axiom IV.1 (Winkelmaßaxiom)

Zu jedem Winkel $\ \alpha$ gibt es genau eine reelle Zahl $\ \omega$ zwischen 0 und 180.

Definition V.4: (Größe eines Winkels)

Die Zahl $\ \omega$, die entsprechend des Winkelmaßaxioms einem jeden Winkel $\ \alpha$ eindeutig zugeordnet werden kann, wird die Größe oder das Maß von $\ \alpha$ genannt.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$.

Winkelkonstruktion

Existenz und Eindeutigkeit des Winkelantragens

Axiom IV.2: (Winkelkonstruktionsaxiom)

Es sei $\ g \equiv SA$ eine Gerade in der Ebene $\ \Epsilon$. Zu jeder reellen Zahl $\ \omega$ mit $\ 0 < \omega < 180$ gibt es in jeder der beiden durch $\ g$ bestimmten Halbebenen der Ebene $\ \Epsilon$ genau einen Strahl $\ SB^+$ mit $\ \left| \omega \right| = \left| \angle ASB \right|$

Winkeladdition

Axiom IV.3: (Winkeladditionsaxiom)

Wenn der Punkt $\ P$ zum Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ gehört , dann gilt $\ \left| \angle ASP \right| + \left| \angle PSB \right| = \left| \angle ASB \right|$.

Satz V.2

Wenn der Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\ \angle ASP$ und $\ \angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\ \angle ASB$.

Rechte Winkel

Definition V.5 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition V.6 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel, deren Größen zusammen 180 ergeben, sind supplementär.

Axiom IV.4: (Supplementaxiom)

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz V. : (Existenz von rechten Winkeln)

Es gibt rechte Winkel.

Beweis von Satz V. :

Wir haben zu zeigen, dass wenigstens ein rechter Winkel existiert.
Nach Definition V.5 ist ein rechter Winkel ein solcher, der das selbe Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat. Das Supplementaxiom (Axiom IV.4) besagt, dass die Summe der Größen zweier Nebenwinkel in jedem Fall 180 beträgt. Wenn es denn einen rechten Winkel gäbe, so müsste dessen Maß die Hälfte von 180 sein.

Wenn es uns gelänge nachzuweisen, dass es einen Winkel der Größe 90 gibt, so wären wir eigentlich mit unserem Beweis fertig.

In der Tat gibt es einen derartigen Winkel: Das Axiom (Winkekonstruktionsaxiom) besagt, dass es zu jeder beliebigen zahl zwischen 0 und 180