Einführung
Dieses Skript dient der Zusammenfassung der Inhalte der Vorlesung(en). Es wäre schön, wenn sich immer zwei bis drei Personen pro Woche bereit erklären würden hier federführend tätig zu werden. Natürlich dürfen und sollen sich aber möglichst viele von Ihnen an dem Skript beteiligen.
Dem griechischen Universalgenie Eratosthenes von Kyrene gelang es schon vor über 2000 Jahren den Erdumfang ziemlich exakt zu bestimmen. Er beobachtete, dass am 21. Juni die Sonne in Assuan (Ägypten) senkrecht in einen tiefen Brunnenschacht scheint, während zur gleichen Zeit in Alexandria, 5000 Stadien von Assuan entfernt, eine senkrecht stehende Säule einen Schatten wirft. Der Winkel der Sonnenstrahlen mit der vertikalen Richtung betrug 1/50 des Vollwinkels. 1 Stadion entspricht etwa 158m (Was wir heute aber nicht sicher wissen!).
Die Zusammenhänge werden durch das folgende Applet verdeutlicht:
Beachtet werden muß, daß der Winkel, der vom Strahl d und der Geraden a gebildet wird, das selbe Maß hat, wie der Winkel, der vom Strahl d und der Geraden b gebildet wird. Diese Winkel werden als Wechselwinkel bezeichnet. Wenn man nun davon ausgeht, daß der/die Winkel 1/50 des Vollkreis beträgt/betragen, ergibt sich folgende Rechnung:
5000 Stadien * 50 = 250000 Stadien => 250000 Stadien = 39500 km
Folgende Vorraussetzungen und mathematische Zusammenhänge werden beim Lösen dieser Aufgabe verwendet:
- Begriffsdefinitionen: Winkel, Wechselwinkel, Vollwinkel, Gerade, Kreis, etc.
- Beziehungen zwischen Begriffen (Relationen): ist parallel zu
- Sätze: Wechselwinkelsatz, Rechengesetze
Um diese Aufgabe lösen zu können, müssen wir also die verwendeten Begriffe, die beschriebenen Beziehungen zwischen den Begriffen und die verwendeten Sätze kennen und verstehen.
Versuchen wir z. B. den Begriff Wechselwinkel zu definieren:
Der Scheitelwinkel eines Stufenwinkels ist ein Wechselwinkel.
An diesem Beispiel erkennt man, dass in dieser Definition weitere Begriffe auftauchen, die man ebenfalls wieder definieren müsste. Dies würde ewig so weitergehen. Man kommt also zwangsläufig zu so genannten Grundbegriffen, die nicht mehr definiert werden. Eine geniale Idee war es, nur die Beziehungen zwischen den (möglichst wenigen) Grundbegriffen festzulegen. Diese Beziehungen werden durch so genannte Axiome bestimmt.
Um ein tieferes Verständnis vom strukturellen Aufbau der Geometrie zu erhalten, ist es zunächst notwendig, sich näher mit den Definitionen, Relationen und der Struktur von Sätzen zu beschäftigen. Dies ist grundlegend, um im Folgenden den axiomatischen Aufbau der Geometrie zu verstehen.
