Strecken und Halbgeraden WS 12 13

Strecken, intuitiv

Punkte, Geraden und auch Ebenen sind Grundbegriffe, die wir in unserer Geometrie nicht definieren können. Für Strecken wird uns das gelingen.

Eine intuitive Vorstellung von Strecken haben wir schon: Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten. Diese Vorstellung gilt es nun zu präzisieren.

Da wir alle unsere geometrischen Objekte als Punktmengen betrachten, wäre es schön, wenn wir die Strecke als Menge von Punkten mit bestimmten Eigenschaften definieren könnten. An dieser Stelle brauchen wir eine neue Relation, die so genannte Zwischenrelation, die uns diese benötigten Eigenschaften liefert:

Vorbetrachtungen:

Der Abstand zweier Punkte

Der Begriff des Abstands zweier Punkt ist ebenfalls ein Grundbegriff, den wir nicht definieren werden können. Wir können uns den Abstand aber als genau eine reelle Zahl vorstellen, die zwei Punkten eindeutig zugeordnet werden kann (intuitiv: das Maß der kürzesten Verbindung zwischen zwei Punkten). Für den Abstand der beiden Punkte A und B schreibt man: $\left| AB \right|$

Definition I/1: (kollinear)

Eine Menge von Punkten heißt kollinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält.

Schreibweise: koll(A, B, C, ...) Sollten die Punkte A, B, C einer Menge nicht kollinear sein, so schreibt man:nkoll(A, B, C)

Die Dreiecksungleichung

Schüler entdecken die Dreiecksungleichung

Dreieckskonstruktionen sind seit jeher fester Bestandteil des Geometrieunterrichts in der Schule. Neben solchen allgemeinen Zielen wie Erziehung zur Exaktheit und Sauberkeit bei Konstruktionen, geht es bei diesen Aufgaben auch darum, dass die Schüler die Gesetzmäßigkeiten ihrer Umwelt durch eigene Tätigkeit selbst erfahren.

Die einfachsten Dreieckskonstruktionen sind die, bei denen die Längen der drei Seiten eines Dreiecks gegeben sind.

Der Lehrer, der Konstruktionsaufgaben auf das eigentliche Generieren einer Zeichnung durch die Schüler reduziert, verschenkt eine Reihe von Potenzen hinsichtlich verschiedenster Ziele des Mathematikunterrichts. Stellvertretend sei in diesem Zusammenhang das Begründen genannt.

Aus didaktischer Sicht werden Konstruktionsaufgaben zu einem bestimmten Problemkreis erst dann vollständig, wenn die Schüler sich sowohl mit Aufgaben mit mehreren Lösungsmöglichkeiten als auch mit unlösbaren Aufgaben auseinandersetzen müssen.

Experimentieren Sie mit dem folgenden Geogebraapplet und klassifizireren Sie die Typen von Konstruktionsaufgaben, die sich für Dreieckskonstruktionen nach SSS ergeben:

Die Dreiecksungleichung

Für drei beliebige Punkte $\ A, B$ und $\ C$ gilt: $\left|AB \right|+ \left| BC \right| \geq \left| AC \right|.$

Falls $\operatorname{koll} \left( ABC \right)$, dann ist eine der folgenden Gleichungen erfüllt:

$\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$

$\left| AC \right| + \left| CB \right| = \left| AB \right|$

$\left| BA \right| + \left| AC \right| = \left| BC \right|$

Ist umgekehrt eine dieser drei Gleichungen erfüllt, so sind $\ A$, $\ B$ und $\ C$ kollinear.

Definitionen und Sätze

Definition I.2: (Zwischenrelation)

Ein Punkt $\ B$ liegt zwischen zwei Punkten $\ A$ und $\ C$, wenn $\left| AB \right| + \left| BC \right| = \left| AC \right|$ gilt und der Punkt $\ B$ sowohl von $\ A$ als auch von $\ C$ verschieden ist.

Schreibweise: $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$

Unmittelbar einsichtig sind die folgenden beiden Sätze:

Satz I.1

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{Zw} \left( C, B, A \right)$.

Beweis von Satz I.1

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz I.2:

Aus $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ folgt $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$.

Beweis von Satz I.2

Beweis: trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz I.3

Es sei $\operatorname{koll} \left( A, B, C \right)$ mit $\ A, B, C$ sind paarweise verschieden.
Dann gilt $\operatorname{Zw} \left( A, B, C \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( A, C, B \right)$ oder $\operatorname{Zw} \left( B, A, C \right)$.

Beweis von Satz I.3:

Übungsaufgabe

Der Begriff der Strecke

Definition I.3: (Strecke, Endpunkte einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. Die Punktmenge, die aus $\ A$, $\ B$ und allen Punkten $\ P$ die Zwischen $\ A$ und $\ B$ liegen, besteht, gehört zur Strecke $\overline{AB}$. $\overline{AB} := \{ P \mid \operatorname{Zw}(A,P,B) \} \cup \{ A,B \}$ --Brauchichnicht 22:54, 24. Jan. 2013 (CET)

Längenmessung

Messen: Andere Länder andere Sitten

Rory, ein irischer Schüler, wechselt für ein Jahr an die IGH im Hasenleiser. Die Beibehaltung gewisser Gewohnheiten aus Irland könnte für Rory in Deutschland Probleme mit sich bringen: In Irland schmeckt das Guinness besser und vor allem wird es in der Maßeinheit Pint ausgeschenkt. Ein Pint ist etwas mehr als ein halber Liter: 0,56826125 l.

Rory ist ein sehr ordentlicher Schüler und hat sein Schullineal aus Irland mitgebracht. Zum Messen würde dieses in Deutschland allerdings nur dann etwas nützen, wenn es über eine zweite Skale in cm verfügen würde.

Die Idee der Längenmessung

Strecken werden bereits in Klasse 1 gemessen. Was ist das eigentlich, das Messen von Strecken. Wie würden Sie es den Schülern der Klassenstufen für die Sie ausgebildet werden erklären? Ergänzen Sie hier:

Mit dem Begriff des Abstands können wir einer Strecke eindeutig eine Länge zuordnen.

Definition I.4: (Länge einer Strecke)

Es seien $\ A$ und $\ B$ zwei verschiedene Punkte. ... (ergänzen Sie)

Halbgeraden bzw. Strahlen

So ist es gemeint

Hinweis: Klicken Sie auf das Symbol rechts oben (neu laden), damit alles richtig angezeigt wird.
Manipulieren Sie dann erst P und dann B und A.

Definition I.5: (Halbgerade, bzw. Strahl)

Definition: Halbgerade $AB^+$ (ergänzen Sie)

• Versucht es doch mal!--Tutorin Anne 18:21, 10. Dez. 2012 (CET)
• Kann jemand helfen?--RM2208 15:18, 4. Jan. 2013 (CET)
• AB+ = {A,B} ∪ {P I Zw (A,B,P)}
  

Achtung! Das ist so nicht ganz richtig.WEshalb?--Tutorin Anne 21:59, 13. Jan. 2013 (CET)

Definition: Halbgerade $AB^-$ (ergänzen Sie)

AB- : = {A} ∪ {P I Zw(P,A,B)} Reicht das so?

• Ja!--Tutorin Anne 18:17, 7. Jan. 2013 (CET)

Und wie definiert man die Halbgerade ohne die Zwischenrelation? --RM2208 12:29, 7. Jan. 2013 (CET)

• Da gibt es viele Möglichkeiten. Wer kann die Frage beantworten?--Tutorin Anne 18:17, 7. Jan. 2013 (CET)

AB- : = {A} ∪ {P I |PA| +|AB| = |PB|} so vielleicht?--TobiWan 17:29, 13. Jan. 2013 (CET)

• Clever, du hast die Definition Zwischenrelation verwendet. Das ist richtig, aber im Endeffekt die gleiche Aussage wie oben. Es ist z.B. auch möglich über Streckenverhältnisse und Teilmengenbeziehungen den Strahl zu definieren. Hat jemand eine Idee?--Tutorin Anne 21:57, 13. Jan. 2013 (CET)

Ich bin mir nicht sicher, ob das so geht, aber hier mal ein anderer Versuch:

$AB- :$ = { A I A $\in$ g } $\cup$ { P I P = A * x * $\vec{v}$ ; x $\in$ R⁺ ; P $\in$ g} --TobiWan 14:28, 14. Jan. 2013 (CET)
Da wir Vektoren nicht definiert haben, geht das so hier nicht nicht. Aber: Es stecken allerdings viele richtige Gedanken in der Definition. Du beschreibst die Lage von g nicht und damit könnte die Gerade ja irgendwie liegen, so lange sie durch A läuft. Bei der Vektorrichtung benennst du nicht, wie der Vektor verlaufen muss (die genaue Richtung des Vektors fehlt).--Tutorin Anne 15:49, 17. Jan. 2013 (CET)