Winkelmaß, Rechte Winkel WS 12 13

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Definition IV.6 : (Winkelmaß)

Jedem Winkel $\ \alpha$ kann genau eine reelle Zahl $\ \omega$ zwischen 0 und 180 zugeordnet werden. Diese Zahl wird als Größe oder als Maß des Winkels $\ \alpha$ bezeichnet.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$.

Wie aus der Schule bekannt, lassen sich Winkelgrößen addieren oder auch subtrahieren:

Satz IV.1

Wenn der Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\ \angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\ \angle ASP$ und $\ \angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\ \angle ASB$.

Beweis von Satz IV.1

Für diesen Beweis benötigen wir spezielle Winkelaxiome, auf die wir an dieser Stelle aber verzichten wollen.

Rechte Winkel

Definition IV.2 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition IV.3 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Satz IV.2:

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz IV.3a :

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Beweis von Satz IV.3a  :

Übungsaufgabe

Satz IV.3b :

Jeder Winkel, der das Maß 90 hat ist ein rechter Winkel.

Beweis von Satz IV.3b  :

Übungsaufgabe

Wir haben somit in der Aussage, das Maß 90 zu haben, eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür gefunden, ein rechter Winkel zu sein und damit ein Kriterium für einen rechten Winkel gefunden. Dieses Kriterium eignet sich somit als neue Definition des Begriffs "rechter Winkel":

Definition IV.4 : (Rechter Winkel)

Ein Winkel, der genau das gleiche Maß wie einer seiner Nebenwinkel hat, heißt rechter Winkel.--Hakunamatata 15:45, 18. Jan. 2013 (CET)

• Diese Defniniton steht schon oben! Hier ist eine neue Definition gesucht, die sich aus dem Kriterium (steht darüber) ableiten lässt.--Tutorin Anne 12:08, 20. Jan. 2013 (CET)

Dann könnte ich ja einfach sagen: Jeder rechte Winkel hat das Maß 90. ?!?!--Hakunamatata 12:51, 20. Jan. 2013 (CET)

Nein, das ist ja der Satz IV.3a...
Ich denke, die Definition wäre: Wenn ein Winkel, das Maß 90 hat, dann ist er ein rechter Winkel.
Oder: Ein rechter Winkel, ist ein Winkel mit dem Maß 90. (von Unicycle)

• So ist es Unicycle. Danke für die lehrreiche Diskussion Hakunamatata und Unicycle!--Tutorin Anne 09:05, 25. Jan. 2013 (CET)

Die Relation Senkrecht auf der Menge der Geraden

Definition IV.5 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien $\ g$ und $\ h$ zwei Geraden. Wenn sich $\ g$ und $\ h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $\ g$ und $\ h$ senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $\ g \perp \ h$ (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Definition IV.6 : (noch mehr Senkrecht)

Eine Gerade $\ g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn ... Ergänzen Sie:

...wenn Sie sich schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen. (von Lenchen)

• Lenchen, bitte immer Unterschrift anhängen (Symbol 11 von links), sonst finde ich die Einträge nicht so leicht.--Tutorin Anne 15:00, 25. Jan. 2013 (CET)
• Steht eine Strecke und eine Gerade nicht auch dann senkrecht aufeinander, wenn sie sich nicht schneiden? Da bin ich mir jetzt auch nicht sicher, aber ich denke schon. Also es ist natürlich Definitionssache.--Tutorin Anne 15:00, 25. Jan. 2013 (CET)

Tutorin Anne hat recht! Es reicht schon, wenn die Gerade $\ AB$ auf der die Strecke $\overline{AB}$ liegt senkrecht auf $\ g$ steht.--Schnirch 17:07, 28. Jan. 2013 (CET)

Eigenschaften der Relation senkrecht

1. Die Relation eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden hat die folgenden Eigenschaften:

	Sie ist reflexiv.
	Sie ist symmetrisch.
	Sie ist transitiv.
	Sie ist keine Äquivalenzrelation.
	Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
	Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.

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