Lösung von Aufgabe 12.06 WS 12 13

Aufgabe 12.06 Beweisen Sie: Die Höhen eines Dreiecks (bzw. die Geraden, die durch die Höhen eindeutig bestimmt sind) schneiden einander in genau einem Punkt. Hilfe: Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck. Von diesem Dreieck wissen Sie bereits, dass sich seine Mittelsenkrechten in genau einem Punkt schneiden. Konstruieren aus $\overline{ABC}$ ein weiteres Dreieck, indem sie die drei Parallelen konstruieren, die sie erhalten, wenn sie die Parallele jeweils durch einen Eckpunkt von $\overline{ABC}$ zur gegenüberliegenden Seite legen. Lösung User Caro44 Skizze: Beweis: --Caro44 13:53, 30. Jan. 2013 (CET) Lösung User B..... geht es auch mit der Winkelkongruenz? --B..... 22:59, 30. Jan. 2013 (CET) Bemerkungen --*m.g.* 09:48, 31. Jan. 2013 (CET) Das Parallelenaxiom können Sie nicht zur Begründung der Konstruktion der Parallelen verwenden. Grund: Das Parallelenaxiom fordert nicht die Existenz von Parallelen. Es bezieht sich lediglich auf die Eindeutigkeit der Parallelen. Bereits in der absoluten Geometrie können wir zeigen: Durch jeden Punkt$P$ außerhalb einer Geraden $g$ geht eine zu $g$ parallele Gerade $h$. Was wir nicht beweisen können und deshalb axiomatisch fordern, ist die Tatsache, dass es höchstens eine solche Gerade geben kann. Korrekte Begründung der Parallelen: Existenz der Parallelen.