Lösung von Zusatzaufgabe 12.2P (WS 12 13)

Beweisen Sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke mit Hilfe zweier Punktspiegelungen.

Voraussetzung	Dreieck ABC mit den Innenwinkeln $\alpha ,\beta ,\gamma$
Behauptung	$\left| \alpha \right| +\left| \beta \right| +\left| \gamma \right| = 180$

Beweisschritte	Begründung
1. Wir konstruieren eine Gerade g, für die gilt g ll $\overline{AB}$ ^ C$\in$g	Parallelenaxiom, Vor.
2. D(mb,180)(A)=C ^ D(mb,180)(B)=B'	1.), Def. Punktspiegelung, Def. Mittelpunkt
2.1 $B'C \equiv g$	1.),2.)
3. $\alpha \tilde {=}\alpha '$	Wechselwinkelsatz, 1.),2.),2.1), Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), winkelmaßerhaltend
4. D(ma,180)(A)=A' ^D(ma,180)(B)=C	1.), Def. Punktspiegelung, Def. Mittelpunkt
5. $\beta \tilde {=} \beta'$	4.),2.1) Wechselwinkelsatz, Eig. Punktspiegelung (winkeltreue), winkelmaßerhaltend
6. $\left| \alpha' \right| + \left| \beta' \right|+ \left| \gamma \right|= 180$	4.), 5.),Def. Nebenwinkel, Satz(Nebenwinkel sind supplementär)
7. $\left| \alpha \right| + \left| \beta \right|+ \left| \gamma \right|= 180$	3.),5.),6.)

--TobiWan 00:37, 3. Feb. 2013 (CET)