Probeklausur WS 12 13 Aufgabe 4

Abbildung 02	Abbildungs 03

Aufgabe a

Es sei $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$, auf $k$ seien drei nichtkollineare Punkte $A, B, C$ gegeben.
Voraussetzung 1: $M \in \overline{AB}$,
Voraussetzung 2: $A, B, C \in k$,
Behauptung $|\gamma|=|\angle ACB|=90$°
Für den folgenden Beweis beziehen wir uns auf Abb. 03. Hier wurde der Durchmesser $\overline{CD}$ eingezeichnet und zum Viereck $\overline{ACBD}$ ergänzt. Die Korrektheit dieser Konstruktion muss nicht begründet werden. Ergänzen Sie das folgende Beweisfragment:

Lösung User ...

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\overline{MC} \tilde= \overline{MA} \tilde= \overline{MD} \tilde= \overline{MB}$	...
(II)	$|\gamma_1|+|\gamma_2| + |\delta_1| + |\delta_2|=180$°	...
(III)	$\varphi_1 \tilde=\varphi_2 \wedge \varepsilon_1 \tilde= \varepsilon_2$	...
(IV)	$\overline{AMC} \tilde= \overline{BMD} \wedge \overline{BMC} \tilde=\overline{AMD}$	...
(V)	$\delta_1 \tilde= \gamma_1 \wedge \delta_2 \tilde= \gamma_2$	...
(VI)	$|\gamma_1|+|\gamma_2| + |\gamma_1| + |\gamma_2|=180$°	...
(VIII)	$|\gamma_1|+|\gamma_2| = |\gamma|=90$°	...
(VII)	$2\cdot\left(|\gamma_1|+|\gamma_2| \right)=180$°	...

Lösung User ...

Nr.	Beweisschritt	Begründung
(I)	$\overline{MC} \tilde= \overline{MA} \tilde= \overline{MD} \tilde= \overline{MB}$	...
(II)	$|\gamma_1|+|\gamma_2| + |\delta_1| + |\delta_2|=180$°	...
(III)	$\varphi_1 \tilde=\varphi_2 \wedge \varepsilon_1 \tilde= \varepsilon_2$	...
(IV)	$\overline{AMC} \tilde= \overline{BMD} \wedge \overline{BMC} \tilde=\overline{AMD}$	...
(V)	$\delta_1 \tilde= \gamma_1 \wedge \delta_2 \tilde= \gamma_2$	...
(VI)	$|\gamma_1|+|\gamma_2| + |\gamma_1| + |\gamma_2|=180$°	...
(VIII)	$|\gamma_1|+|\gamma_2| = |\gamma|=90$°	...
(VII)	$2\cdot\left(|\gamma_1|+|\gamma_2| \right)=180$°	...

Aufgabe b

Formulieren Sie den unter a) bewiesenen Satz in allgemeinerer Form unter Verwendung der Begriffe Dreieck und Umkreis in der Form Wenn-Dann.