Geraden 2012 13

Darstellung von Geraden

Die Punktenormalengleichung

Eine Möglichkeit ist es Geraden mit Hilfe von zwei Vektoren darzustellen. Hierfür wir zum einen ein Stützvektor, zum anderen ein Richtungsvektor benötigt.

Der Normalenvektor

Definition des Normalenvektors

Sei g eine Gerade. Ein Vektor $\ \vec{n} \$ heisst genau dann Normalenvektor von g, wenn $\ \vec{n}\$ senkrecht zu der Geraden g steht.

Der Punkt A an dem sich ein Normalenvektor mit der Geraden schneidet, wird auch Aufpunkt genannt.

Skizze eines Normalenvektors

Eigenschaften des Normalenvektors

Sei g eine Gerade mit $\ \ g = \vec{s} + \lambda \cdot \vec{r} \$ und $\vec{n}$ der Normalenvektor auf g , mit $s =\begin{pmatrix} s_1 \\ s_2 \end{pmatrix}, \ r =\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \end{pmatrix},\ n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}.$

$E1:\ \ \ \vec{n} \cdot \vec{r} = 0$

$E2:\ \ \ n =\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \end{pmatrix}$
$E3:$ Im Raum gibt es unendlich viele Normalenvektoren zu einer Gerade g und einem Aufpunkt A.

Ist in der Ebene von einer Geraden ein Punkt P und ihr Normalenvektor bekannt, so wird diese hierdurch eindeutig beschrieben. Sei $\vec{r}$ ein beliebiger Ortsvektor auf der Geraden g, da der Normalenvektor $\vec{n}$ senkrecht zu der Geraden $\vec{r}$ steht, so steht $\vec{n}$ auch senkrecht zu jedem anderen Vektor $\vec{r}- \vec{a}$ der Geraden g.

Da die beiden Vektoren $\vec{n}$ und $\vec{r}-\vec{a}$ senkrecht zueinander stehen, muss das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren Null ergeben:

$\vec{n} \cdot \vec{r}-\vec{a} = 0 <br> \Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{r} - \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{0}<br> \Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r}$

(geometrische Deutung)

Hesseform

(Otto Hesse, deutscher Mathematiker, von 1811-1874)

Die Punktenormalengleichung

Aus den Eigenschaften des Normalenvektors einer Gerade, wollen wir nun auf eine neue Darstellung von Geraden in der Ebene schliessen.

Wir fassen zusammen: Eine Gerade g in der Ebene ist durch einen Punkt A auf der Geraden und einen Normalenvektor n eindeutig festgelegt. Ein jeder Ortsvektor $\vec{r}$ eines Punktes der Geraden erfüllt die folgende Gleichung:

$\vec{n} \cdot \vec{a} = \vec{n} \cdot \vec{r}$

diese Gleichung wird auch Punktnormalengleichung der Geraden genannt.

Das Skalarprodukt n a natürlich bestimmbar ist, wenn zumindest A und n gegeben sind. Dies ist eine reele Zahl c, also lässt sich die Punktenormalengleichung noch etwas umschreiben:

$c = \vec{n} \cdot \vec{r}$

Diese Gleichung wird nun allgemeine Normalengleichung der Geraden genannt.

Normierung eines Vektors

Manchmal ist es bei einem Vektor von größerem Interesse in welche Richtung er zeigt, als welche Länge (Betrag) er besitzt. In solchen Fällen wird der Vektor durch seine Länge geteilt und hat dann damit die Länge Eins. Nun ist es wesentlich bequemer mit diesem normierten Vektor zu rechnen, als mit dem unnormierten Vektor.

Rechnerisch ergibt sich der Betrag eines Vektors aus der Wurzel des Skalarproduktes mit sich selbst. z.B. v = (3, 4) => |v| = 5 => v_n = v / |v| = (3/5, 3/4) => |v_n| = 1