Übungen 03

Aufgabe 1

Gegeben sind drei Ebenengleichungen $a_1x+b_1y+c_1z=d_1$, $a_2x+b_2y+c_2z=d_2$ und $a_3x+b_3y+c_3z=d_3$.
Geben Sie drei Ebenen dieser Form an, sodass das LGS dazu

a) genau eine Lösung
b) keine Lösung
c) eine ein-parametrige Lösung
d) eine zwei-parametrige Lösung
hat.
Was bedeutet das anschaulich für die Lage der Ebenen?

Aufgabe 2

Berechnen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus den Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene:
a) $g: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $e: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

b) $g: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 15 \end{pmatrix}$ und $e: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\ 8 \\ 6 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

Aufgabe 3

Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem (bestehend aus zwei Gleichungen), das die Gerade durch die Punkte $P(0|5|-2)$ und $Q(14|3|2)$ beschreibt. Tipp: Überlegen Sie sich, was das geometrisch repräsentiert.

Lösungen_Übung03