Drehungen (2012 13)

Definitionsmöglichkeiten

Definition 1
Unter einer Drehung $D_{Z, \alpha}$ um den Punkt Z mit dem Drehwinkel $\alpha$ versteht man eine Abbildung $\varphi$ der Ebene $\epsilon$ auf sich, für die gilt:
1. Z ist Fixpunkt bezüglich $\varphi$
2. $\forall A: |ZA|=|Z \varphi (A)|$ mit $A \in \epsilon$ und $A \not\equiv Z$
3. $\forall A: \angle AZ \varphi (A) = \alpha$ mit $A \in \epsilon$ und $A \not\equiv Z$

Die Definition entstand aus Vorüberlegungen.


Definition 2
Unter der Drehung $D_{Z, \alpha}$ um den Punkt Z mit dem Drehwinkel $\alpha$ versteht man die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_{a}$ und $S_{b}$ mit $a \cap b = {Z}$ und $| \alpha | = 2| \angle (a,b)|$

Dieser Definition liegt ein Kriterium zugrunde:
Kriterium D1: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung $D_{Z, \alpha}$, wenn die die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_{a}$ und $S_{b}$ mit $a \cap b = {Z}$ und $| \alpha | = 2| \angle (a,b)|$ ist.


Definition 3
Unter einer Drehung vertseht man eine Bewegung mit genau einem Fixpunkt.

Auch diese Definition basiert letztlich auf einem Kriterium (Zur Zeit bleibt noch zu beweisen: Eine Drehung ist die einzige Bewegung mit genau einem Fixpunkt.):
Kriterium D2: Eine Bewegung ist genau dann eine Drehung verschieden von der Identität, wenn sie genau einen Fixpunkt besitzt.


--Jessy* 13:48, 12. Dez. 2012 (CET)

Konstruktion des Bildes eines Punktes bei einer Drehung $D_{Z, \alpha}$

Es seien P und Z zwei verschiedene Punkte der Ebene $\epsilon$ und $D_{Z, \alpha}$ eine Drehung der Ebene $\epsilon$ mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel $\alpha$.

Drehungen als Bewegungen

Satz 6.1
Jede Drehung ist eine Bewegung.

Sätze zu Drehungen

Satz 6.2
Jede Drehung um das Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel $\alpha$ ist die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_g$ und $S_h$, deren Spiegelachsen nur das Drehzentrum Z gemeinsam haben und für deren Schnittwinkel $\beta$ gilt: $| \beta | = | \frac{ \alpha}{2}|$

Der Beweis müsste wie folgt laufen...

Der Punkt C1 wurde an DZ gespiegelt. => Die roten Winkel sind kongruent. Nun spiegelt man an D'Z, wobei $\angle$ DZD' = 1/2 $\alpha$ => Die blauen Winkel sind kongruent. Diese Überlegung kann analog für B und A durchgeführt werden. Die beliebige Drehung ist somit die NAF von zwei Geradenspiegelungen mit dem Schnittwinkel $\beta$
--Gubbel 20:54, 5. Mai 2013 (CEST)

Satz 6.3
Die NAF zweier Geradenspiegelungen $S_g$ und $S_h$, deren Spiegelachsen genau den Punkt Z gemeinsam haben, ist eine Drehung mit dem Drehzentrum Z und dem Drehwinkel $\alpha = 2 \cdot \angle (g,h)$

$\rightarrow$ aus den Sätzen 6.2 und 6.3 erhält man das Kriterium D1.

Satz 6.4
Eine Drehung besitzt genau einen Fixpunkt.
Tipp: Beweise den Satz: Die NAF $S_h \circ S_g$ zweier Geradenspiegelungen $S_g$ und $S_h$ für die gilt: g $\cap$ h={Z} besitzt genau einen Fixpunkt.

Satz 6.5
Jede von der Drehung mit 0°< |$\alpha$| <360° verschiedene Bewegung besitzt mehr oder weniger als genau einen Fixpunkt.

$\rightarrow$ aus den Sätzen 6.4 und 6.5 erhält man das Kriterium D2.