Beweisen SoSe 13

Implikationen Beispiele Beispiel 1 Wenn der BVB im Finale der Champions League das erste Tor des Spieles schießt, dann gewinnt er die Champions League der Saison 2012/13. Beispiel 2 Wenn ein Trapez ein Rechteck ist, dann sind sein Diagonalen kongruent zueinander. Beispiel 3 Wenn ein Boxer während des Kampfes seinem Gegner den Rücken zukehrt, hat er den Kampf verloren. Beispiel 4 Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann sind sie kongruent zueinander. Grundlegender Aufbau Wenn Bedingung $a$, dann Behauptung $b$. Aus $a$ folgt $b$. $a \Rightarrow b$ Zusammenhang zur hinreichenden Bedingung Ist die Aussage $a \Rightarrow b$ wahr, so ist die Bedingung der Implikation hinreichend dafür, dass die Behauptung b gilt. "Versteckte" Implikationen Beispiele Beispiel 1: Stufenwinkelsatz Ohne Wenn-Dann Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind kongruent zueinander Wenn-Dann-Form Wenn zwei Winkel Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen sind, dann sind sie kongruent zueinander. Voraussetzung die beiden Winkel sind Stufenwinkel an geschnittenen Parallelen Behauptung die beiden Winkel sind kongruent zueinander Beispiel 2: Innenwinkelsatz für Dreiecke Ohne Wenn-Dann In jedem Dreieck beträgt die Summe der Größen seiner Innenwinkel $180$°. Wenn-Dann-Form Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann beträgt die Summe der Größen seiner Innenwinkel $180$°. Voraussetzung Das betrachtetet n-Eck ist ein Dreieck Behauptung Die Summe der Größen seiner Innenwinkel beträgt $180$°. Beispiel 3: Umkehrung des Thalessatzes Ohne Wenn-Dann Der Mittelpunkt des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks liegt auf der längsten Seite dieses Dreiecks. Wenn-Dann-Form Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann liegt der Mittelpunkt seines Umkreises auf der längsten seiner Seiten. Voraussetzung Das betrachtete Dreieck ist rechtwinklig. Behauptung Der Mittelpunkt seines Umkreises liegt auf der längsten seiner Seiten. Implikationen als mathematische Sätze mathematische Sätze Unter einem mathematischen Satz (im folgenden kurz Satz) versteht man eine mathematische Aussage, die wahr ist. Implikationen als Sätze In der Regel werden Sätze als Implikationen formuliert. Die Voraussetzung der Implikation ist dann eine hinreichende Bedingung für die Behauptung der Implikation. Die Implikation einer Behauptung und die Implikation als Behauptung (umgangssprachlich) Der Begriff der Behauptung wird natürlich auch umgangssprachlich verwendet. Meine Erfahrung lehrt mich, dass Novizen der mathematischen Logik diesbezüglich zu Verwechslungen neigen: Eine gewagte Behauptung Wenn der FC Barcelona ohne Messi spielt, dann halbiert sich seine Spielstärke. Fans des FC Barcelona werden die gesamte Implikation (also die gesamte Aussage Wenn der FC Barcelona ohne Messi spielt, dann halbiert sich seine Spielstärke.) als eine gewagte Behauptung ansehen. Demgegenüber ist die Aussage Barcelona spielt ohne Messi die Voraussetzung der Implikation und die Aussage die Spielstärke halbiert sich die Behauptung der Implikation. Notwendigkeit des Beweises eines Satzes Obige Implikation hinsichtlich der spielerischen Stärke des FC Barcelona in Anhängigkeit der Verfügbarkeit des Weltfußballers Messi wird nur schwer zu beweisen sein und kann damit nicht als Satz im mathematischen Sinne verstanden werden. Mathematische Sätze sind wahre Aussagen und als solche zu beweisen. Direkte Beweise Beispiele für direkte Beweise Beispiel 1: Der Scheitelwinkelsatz Vorab Es sei bereits klar, dass Nebenwinkel supplementär sind (sich zu $180$° ergänzen). Natürlich seien die Begriffe Scheitelwinkel und Nebenwinkel sauber definiert. Der Satz Satz: (Scheitelwinkelsatz) Wenn zwei Winkel $\alpha$ und $\beta$ Scheitelwinkel sind, so haben sie dieselbe Größe. Der Beweis Skizze Voraussetzung $\alpha$ und $\beta$ bilden ein Paar von Scheitelwinkeln Behauptung $|\alpha| = |\beta|$ Beweisführung (unter Bezug auf die Beweisskizze) $|\alpha| + |\gamma| =180$° (Begründung: $\alpha$ und $\gamma$ sind Nebenwinkel und als solche supplementär.) $|\beta| + |\gamma| =180$° (Begründung: $\beta$ und $\gamma$ sind Nebenwinkel und als solche supplementär.) $|\alpha| + |\gamma| = |\beta| + |\gamma|$ (Begründung: linke Seite von Gleichung 1 ist gleich der linken Seite von Geleichung 2.) $|\alpha| = |\beta|$ (Begründung: Auf beiden Seiten der Gleichung 3 $|\gamma|$ subtrahieren.) q.e.d. Beispiel 2: Der starke Außenwinkelsatz Vorab Bereits klar sei: Innenwinkelsumme im Dreieck beträgt $180$°. Nebenwinkel sind supplementär. Alle Begriffe sauber definiert. Der Satz Satz: (starker Außenwinkelsatz) Jeder Außenwinkel eines Dreiecks ist so groß wie die Summe der Größen der beiden Innenwinkel des Dreiecks, die keine Nebenwinkel dieses Außenwinkels sind. Skizze Voraussetzung Der Winkel $\delta$ sei ein Außenwinkel eines Dreiecks $\overline{ABC}$. O.B.d.A. sei $\delta$ Nebenwinkel vom Innenwinkel $\beta$ des Dreiecks $\overline{ABCD}$. (Die beiden Innenwinkel, die zu $\delta$ keine Nebenwinkel sind, seien $\alpha$ und $\gamma$.) Behauptung $|\alpha| + |\gamma| = |\delta|$ Beweis Das können Sie selbst. Ergänzen Sie hier den Beweis. Orientieren Sie sich am Beweis des Scheitelwinkelsatzes. Was sind direkte Beweise? In den obigen Bespielen wurde ausgehend von der Voraussetzung und der Verwendung weiterer bereits bewiesener Sätze die Behauptung unmittelbar hergeleitet. Am Ende der Herleitungskette steht die Behauptung. Man spricht in einem solchen Fall von einem direkten Beweis. Indirekte Beweise Beispiel 1: Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck Vorab Wir gehen davon aus, dass wir die Seiten-Winkel-Beziehung für Dreiecke bereits bewiesen haben: In jedem Dreieck liegt der größeren Seite auch der größere Winkel gegenüber. Der Satz Satz: (Winkel-Seiten-Beziehung im Dreieck) Es sei$\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Wenn der Winkel $\alpha$ größer als der Winkel $\beta$ ist, dann ist die Seite $a$ länger als die Seite $b$. Voraussetzung $|\alpha| > |\beta|$ Behauptung $|a|>|b|$ Annahme $|a|\le |b|$ (Das Gegenteil der Behauptung) Beweisführung Mittels der Annahme wird ein Widerspruch aufgedeckt Im speziellen Fall geht das sehr schnell: Aus der Annahme folgt unter Berücksichtigung der bereits bewiesenen Seiten-Winkelbeziehung, dass $|\alpha|\le |\beta|$ gelten muss. Letzteres ist ein Widerspruch zur Voraussetzung $|\alpha| > |\beta|$. Die Annahme ist somit zu verwerfen. Beispiel 2: Eindeutigkeit des Lotes von einem Punkt auf eine Gerade Klärung der Begriffe Es seien $g$ eine Gerade und $P$ ein Punkt außerhalb von $g$. Lotgerade von $P$ auf $g$: Gerade, die senkrecht auf $g$ steht und durch $P$ geht. Lotfußpunkt des Lotes von $P$ auf $g$: Schnittpunkt $F$ der Lotgeraden von $P$ auf $g$ mit $g$. Lot l von $P$ auf $g$: $l:=\overline{PF}$ Senkrechtstehen können sie intuitiv gebrauchen: Die Lotgerade bildet mit $g$ rechte Winkel, also Winkel der Größe $90^\circ$. Der Satz Wenn $g$ eine Gerade und $P$ ein nicht zu $g$ gehörender Punkt sind, dann gibt es höchstens ein Lot von $P$ auf $g$. Der Beweis Die Annahme Es gibt zwei zueinander verschiedene Lote $l_1$ und $l_2$ von $P$ auf $g$. Die Beweisführung Es sei $\alpha$ der Nebenwinkel zu $\angle PL_1L_2$ Weil $l_1$ Lot von $P$ auf $g$ ist, hat $\alpha$ die Größe $90^\circ$. Der Winkel $\beta=\angle PL_2L_1$ hat ebenso die Größe $90^\circ$, denn auch $l_2$ ist Lot von $P$ auf $g$. Nun ist $\alpha$ als Außenwinkel des Dreiecks $\overline{PL_1L_2}$ so groß wie der ihm nicht anliegende Innenwinkel $\beta$ dieses Dreiecks. Letzteres ist jedoch ein Widerspruch zum Außenwinkelsatz. Die Annahme ist damit zu verwerfen. Bemerkung In diesemBeispiel hatten wir einen Eindeutigkeitsbeweis zu führen. Wir werden solche Beweise auch Highlanderbeweise nennen (Es kann nur einen geben). Highlanderbeweise führt man in der Regel als Widerspruchsbeweis. Beispiel 3: Eine Gerade, die senkrecht auf dem Berührungsradius steht, ist Kreistangente Der Satz Präambel: Wir setzen zunächst ebene Geometrie voraus. Es seien $k$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$ und $g$ eine Gerade, die mit $k$ den Punkt $B$ gemeinsam haben möge. Implikation: Wenn $g$ senkrecht auf $MB$ steht, dann hat $g$ mit $k$ keinen weiteren von $B$ verschiedenen Punkt gemeinsam. Der Beweis Annahme Es existiert ein weiterer von $B$ verschiedener Punkt $A$, den $g$ und $k$ gemeinsam haben. Beweisführung Das können Sie selbst. Beziehen Sie sich auf die obige Skizze und verwenden Sie: Basiswinkelsatz Innenwinkelsatz oder Außenwinkelsatz (dann wäre die Skizze zu ergänzen). Widerspruchsbeweise Alle Beweise aus den Beispielen 1 bis 3 zu den indirekten Beweisen wurden als Widerspruchsbeweis geführt. Der Ablauf eines Widerspruchsbeweises Ausgangslage Eine Implikation $a \Rightarrow b$ soll bewiesen werden: Voraussetzung: a Behauptung: b Formulierung der Annahme Wir behalten die Gültigkeit der Voraussetzung a bei und nehmen jedoch das Gegenteil der Behauptung an. Annahme: $\neg b$ Weiterer Ablauf es Beweises Wir leiten aus der Annahme Schlussfolgerungen ab, die schließlich zu einem Widerspruch führen. Häufig ergibt sich dieser als Widerspruch zur Voraussetzung (Beispiel 1). Es muss sich beim Widerspruchsbeweis der Widerspruch jedoch nicht zwingend zur unmittelbar zur Voraussetzung ergeben. es können sich auch Widersprüche zu anderen Sätzen bzw. wahren Aussagen ergeben (Beispiel 2: Widerspruch zum Außenwinkelsatz). Beweis mittels der Kontraposition einer Implikation Begriff der Kontraposition Beispiel 1: Kontraposition des Innenwinkelsatzes für Dreiecke Der Innenwinkelsatz Wenn ein n-Eck ein Dreieck ist, dann beträgt die Summe der Größen seiner Innnenwinkel $180^\circ$ Die Voraussetzung noch einmal explizit Ein n-Eck $F$ sei ein Dreieck Die Behauptung noch einmal explizit Die Innenwinkelsumme von $F$ beträgt $180^\circ$. Konstruktion der Kontraposition Bilden eine Implikation die durch Vertauschung von Voraussetzung und Behauptung der ursprünglichen Implikation entsteht. Anders ausgedrückt: Wir bilden die Umkehrung der ursprünglichen Implikation: Wenn in einem n-Eck $F$ die Innenwinkelsumme $180^\circ$ beträgt, dann ist $F$ ein Dreieck. Wir negieren in der Umkehrung die Voraussetzung und die Behauptung: Wenn in einem n-Eck $F$ die Innenwinkelsumme verschieden von $180^\circ$ ist, dann ist $F$ kein Dreieck. Definition des Begriffs der Kontraposition Definition (Kontraposition einer Implikation) Unter der Kontraposition der Implikation $a \Rightarrow b$ versteht man die Implikation $\neg b \Rightarrow \neg a$. Bedeutung der Kontraposition einer Implikation für das Beweisen dieser Implikation Eine Übung Satz des Pythagoras Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann ist die Summe der Quadrate der Längen der Katheten gleich dem Quadrat der Länge der Hypotenuse. Wahrheitswert des Satzes von Pythagoras: Umkehrung des Satzes von Pythagoras: Wahrheitswert der Umkehrung des Satzes von Pythagoras: Kontraposition des Satzes von Pythagoras: Wahrheitswert der Kontraposition: Eigenschaften von Quadratdiagonalen Implikation: Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann halbieren sich seine Diagonalen.